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高一数学必修1第三章专题测试(附解析)

编辑:sx_gaohm

2015-12-04

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。精品小编准备了高一数学必修1第三章专题测试,希望你喜欢。

一、选择题

1.函数f(x)=23x+1+a的零点为1,则实数a的值为(  )

A.-2  B.-12

C.12   D.2

解析 由已知得f(1)=0,即231+1+a=0,解得a=-12.故选B.

答案 B

2.函数f(x)=2x-x-2的一个零点所在的区间是(  )

A.(0,1)   B.(1,2)

C.(2,3)   D.(3,4)

解析 由f(0)=20-0-2<0,f(1)=2-1-2<0,f(2)=22-2-2>0,根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内,故选B.

答案 B

3.(2014•北京卷)已知函数f(x )=6x-log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(  )

A.(0,1)   B.(1,2)

C.(2,4)   D.(4,+∞)

解析 由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=64-log24=32-2=-12<0,由零点存在性定理,可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.

答案 C

4.(2014•湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(  )

A.{1,3}   B.{-3,-1,1,3}

C.{2-7,1,3}   D.{-2-7,1,3

解析 求出当x<0时f(x)的解析式,分类讨论解方程即可.令x<0,则-x>0,所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x). 所以当x<0时,f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时,g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0,即x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.当x<0时,g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0,即x2+4x-3=0,解得x=-2+7>0(舍去)或x=-2-7.所以函数g(x)有三个零点,故其集合为{-2-7,1,3}.

答案 D

5.已知函数f(x)=kx+2,x≤0lnx,x>0(k∈R),若函数y=|f(x)|+k有三个零点,则实数k的取值范围是(  )

A.k≤2   B.-1

C.-2 ≤k<-1  D.k≤-2

解析 由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0,所以 k≤0,作出函数y=|f(x)|的图象,

要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即k≤-2,选D.

答案 D

6.x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(0,π))的零点,x10,其中正确的命题为(  )

A.①③   B.①④

C.②③    D.②④

解析 因为f(1)=2sin1-πln1=2sin1>0,f(e)=2sin e-π<0,所以x0∈(1,e),即①正确.

f′(x)=2cosx-πx,当x∈0,π2时,πx>2,f′(x)<0,

当x=π2时,f′(x)=-2<0,

当x∈π2,π时,1<πx<2,cosx< 0,f′(x)<0.

综上可知,f′(x)<0,f(x)为减函数,f(x1)>f(x2),即f(x1)-f(x2)>0,④正确.

答案 B

二、填空题

7.已知0

解析 分别画出函数y=ax(0

答案 2

8.(2014•福建卷)函数f(x)=x2-2,x≤0,2x-6+lnx,x>0的零点个数是________.

解析 分段函数分别在每一段上判断零点个数,单调函数的零点至多有一个.

当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-2(正根舍去),

所以在(-∞,0]上有一个零点.

当x>0时,f′( x)=2+1x>0恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.

又因为f(2)=-2+ln2<0,f(3)=ln3>0,f(2)•f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点.

综上,函数f(x)的零点个数为2.

答案 2

9.(2 014•陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为________m.

解析 如图所示,△ADE∽△ABC,设矩形的面积为S,另一边长为y,

则S△ADES△ABC=40-y402=x402.

所以y=40-x,则S=x(40-x)=-(x-20)2+202,

所 以当x=20时,S最大.

答案 20

三、解答题

10.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2.

(1)求函数g(x)的值域;

(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.

解 (1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2,

因为|x|≥0,所以0<12|x|≤1,

即2

(2)由f(x)-g(x)=0,得2x-12|x|-2=0,

当x≤0时,显然不满足方程,

当x>0时,由2x-12x-2=0,

整理得(2x)2-2•2x-1=0,(2x-1)2=2,

故2x=1±2,因为2x >0,所以2x=1+2,

即x=log2(1+2).

11.设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.

(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;

(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求实数a的取值范围.

解 (1)f′(x)=3x2-9x+6,

因为x∈R时,f′(x)≥m,

即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,

所以Δ=81-12(6-m)≤0,得m≤-34,

故 m的最大值为-34.

(2)由(1)知,f′(x)=3(x-1)(x-2),当x<1时,f′(x)>0;当12时,f′(x)>0.

所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=52-a;

当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a;

故当f(2)>0或f(1)<0时,方程f(x)=0仅有一个实根.

解得a<2或a>52.

∴实数a的取值范围是(-∞,2)∪52,+∞.

B级——能力提高组

1.(2014•湖南卷)已知函数f(x)=x2+ex-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是(  )

A.-∞,1e   B.(-∞,e)

C.-1e,e   D.-e,1e

解析 设x0,x20+ex0-12是函数f(x)图象上任意一点,该点关于y轴的对称点-x0,x20+ex0-12在函数g(x)的图象上,则x20+ex0-12=x20+ln(a-x0),即ln(a-x0)=ex0-12,∴a= x0+e ex0- 12  (x<0).

记h(x)=x+eex-12=x+1eeex,

则h′(x)=1+1eeex•ex=1+1eeex+x>0,

∴h(x)在(-∞,0)上是增函数.

∴a

答案 B

2.(2014•浙江名校联考)已知函数f(x)=x2+1x2+ax+1x+a在定义域上有零点,则实数a的取值范围是________.

解析 f(x)=x+1x2+ax+1x+a-2 ,x≠0,

令x+1x=t,则t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),

由于f(x)有零点,则关于t的方程t2+at+a-2=0在(-∞,-2]∪[2,+∞)上有解.

∵t≠-1,∴方程t2+at+a-2=0可化为a=2-t2t+1,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),问题就转化为a=2-t2t+1=-t+12+2t+1+1t+1=-(t+1)+1t+1+2,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),a=-(t+1)+1t+1+2在(-∞,-2]和[2,+∞)上都是减函数,故当t≤-2时,a≥2;当t≥2时,a≤-23,∴a∈-∞,-23∪[2,+∞).

答案 -∞,-23∪[2,+∞)

3.(2014•江苏南京一模)如图,现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于60 m,绕岛行驶的路宽均不小于10 m.

(1)求x的取值范围(运算中2取1.4);

(2)若中间草地的造价为a元/m2,四个花坛的造价为433ax元/m2,其余区域的造价为12a11元/m2,当x取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

解 (1)由题意得x≥9,100-2x≥60,1002-2x-2×15x2≥2×10,

解得x≥9,x≤20,-20≤x≤15,即9≤x≤15.

(2)记“环岛”的整体造价为y元,则由题意得

y=a×π×15x22+433ax× πx2+12a11×104-π×15x22-πx2

=a11π-125x4+43x3-12x2+12×104,

令f(x)=-125x4+43x3-12x2,

则f′(x)=-425x3+4x2-24x=-4x125x2-x+6,

由f′(x)=0,解得x=10或x=15,

列表如下:

x 9 (9,10) 10 (10,15) 15

f′(x)  - 0 + 0

f(x)  ?↘ 极小值 ?

所以当x=10时,y取最小值.

即当x=10 m时,可使“环岛”的整体造价最低.

高一数学必修1第三章专题测试就为大家介绍到这里,希望对你有所帮助。

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