11.当点P在圆x2+y2=1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　　)

A.(x+3)2+y2=4   B.(x-3)2+y2=1

C.(2x-3)2+4y2=1  D.(2x+3)2+4y2=1

解析　设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，

则x=x1+32，y=y12，∴x1=2x-3，y1=2y.

又点P(x1，y1)在圆x2+y2=1上，

∴(2x-3)2+4y2=1.

故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.

答案　C

12.曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　)

A.(0，512)   B.(512，+∞)

C.(13，34]   D.(512，34]

解析　如图所示，曲线y=1+4-x2

变形为x2+(y-1)2=4(y≥1)，

直线y=k(x-2)+4过定点(2,4)，

当直线l与半圆相切时，有

|-2k+4-1|k2+1=2，解得k=512.

当直线l过点(-2,1)时，k=34.

因此，k的取值范围是512

答案　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)

13.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值为____________.

解析　圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离为5，

∴所求的最小值为4.

答案　4

14.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是________.

解析　r=|1+1-4|2=2，所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

答案　(x-1)2+(y-1)2=2

15.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆，①关于直线y=x对称;②关于直线x+y=0对称;③其圆心在x轴上，且过原点;④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________.

解析　已知方程配方，得(x+a)2+(y-a)2=2a2(a≠0)，圆心坐标为(-a，a)，它在直线x+y=0上，∴已知圆关于直线x+y=0对称.故②正确.

答案　②

16.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于A，B两点，则△AOB(O为坐标原点)的面积为________.

解析　圆心坐标(2，-3)，半径r=3，圆心到直线x-2y-3=0的距离d=5，弦长|AB|=2r2-d2=4.又原点(0,0)到AB所在直线的距离h=35，所以△AOB的面积为S=12×4×35=655.

答案　655

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程.

解　解法1：连接OP，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，kOP•kAP=-1，即yx•yx-4=-1.

即x2+y2-4x=0.①

当x=0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，

∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).

解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|=12|OA|=2，由圆的定义，知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆.

故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内).

18.(12分)已知圆M：x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N：x2+y2+2x+2y-2=0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标.

解　由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，-2)，N(-1，-1).

两圆的方程相减得直线AB的方程为

2(m+1)x-2y-m2-1=0.

∵A，B两点平分圆N的圆周，

∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(-1，-1).

∴2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0.

解得m=-1.

故圆M的圆心M(-1，-2).

19.(12分)点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上，点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上，求|MN|的最大值.

解　把圆的方程都化成标准形式，得

(x+3)2+(y-1)2=9，

(x+1)2+(y+2)2=4.

如图所示，C1的坐标是(-3,1)，半径长是3;C2的坐标是(-1，-2)，半径长是2.

所以，|C1C2|=-3+12+1+22=13.

因此，|MN|的最大值是13+5.

20.(12分)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求|PM|的最小值.

解　如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴|PM|2=|PC|2-|MC|2.

设P(x，y)，C(-1,2)，|MC|=2.

∵|PM|=|PO|，

∴x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-2.

化简得点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.

求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原点O到直线2x-4y+3=0的距离，代入点到直线的距离公式可求得|PM|最小值为3510.