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2015年陕西赛区高中数学联赛预赛试题(有答案)

编辑:donghk

2015-06-26

为了方便同学们复习,提高同学们的复习效率,对这一年的学习有一个更好的巩固,本文整理了高中数学联赛预赛试题,具体内容请看下文。

第一试

填空题:(每小题8分,共80分)要求直接将答案填在题中的横线上.

1. 已知集合 ,若非空集合 满足: 中各元素都加4后构成 的一个子集, 中个元素都减去4后也构成 的一个子集,则            .

答案:

2. 已知两条直线 , ,设函数 的图像与 、 分别交于点A、B,函数 的图像与 、 分别交于点C、D,则直线AB与CD的交点坐标是

答案:

3. 对于正整数 ,若 、 ,当 最小时,我们称 为 的“最佳分解”,并规定 .例如,12的分解有12 1,6 2,4 3,其中4 3为12的“最佳分解”,则 .关于 ,有以下四个判断:

①       ② ;     ③ ;    ④ .

其中,所有正确判断的序号是             .

答案:②、④

4. 已知 为等腰直角三角形, ,且 , ,若

,则 的面积等于          .

答案:1

5. 在正四面体ABCD中,AO 平面BCD,垂足为O.设M是线段AO上一点,且满足 ,则          .

答案:1

6. 如图1,Rt 的三个顶点都在给定的抛物线 上,且斜边AB//x轴,则斜边上的高           .

答案:

7. 某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖),且相应获奖的概率是以a为首项、2为公比的等比数列,相应获得的奖金是以700元为首项、以 为公差的等差数列.则参与这项游戏活动获得奖金的期望是           元.

答案:500

8. 设 、 是两个不同的质数,则 被 除的余数是         .

答案:1

9. 定义在R上的函数 满足: ,且对于任意的 ,都有 .则不等式 的解集为            .

答案:

10. 从公路旁的材料工地沿笔直的公路向同一方向运送电线杆到500m以外的公路边埋栽,在500m处栽一根,然后每间隔50m在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运三根,要完成运载20根电线杆的任务,并返回材料工地,则运输车总的行程最小为

m.

答案:14000

第二试

一、(本题满分20分)

在 中,已知 ,且 .

(1) 求角A的大小和 边的长;

(2) 若点P在 内运动(含边界),且点P到三边距离之和为d,设点P到边BC、CA的距离分别为 ,试用 表示d,并求d的取值范围.

答案:

二、(本题满分20分)

在平面直角坐标系中,以点  为圆心的圆经过坐标原点 ,且分别与 轴、 轴交于点 (不同于原点 ).

(1) 求证: 的面积 为定值;

(2) 设直线 与圆 相交于不同的两点 ,且 ,求圆 的标准方程.

答案:

三、(本题满分20分)

如图2,锐角 内接于圆 ,过圆心 且垂直于半径 的直线分别交边 于点 设圆 在 两点处的切线相交于点 .

求证:直线 平分线段  .

证明:如图4,过点 作 的平行线,分别交 延长线于点 ,则

因为 是 的外心,所以

所以

又 为圆 的切线,所以 .

所以 ,于是 .

同理

又 ,所以 ,即 平分线段 .

因为 ,故直线 平分线段 .

四、(本题满分30分)

已知数列 满足: ,   .

(1) 求数列 的通项公式;

(2) 若数列 满足: ,且对任意正整数 ,

不等式 恒成立,求整数m的最大值.

若存在 ,则由 知, .依次类推, ,这与 矛盾.故

于是,由 ,得

,即 .

所以 是首项为3、公比为3的等比数列.

所以 ,即

由(1)得 .从而 .

于是,不等式 等价于

令 则

所以 单调递增.

所以 .

于是, ,即 .

故整数 的最大值为13.

五、(本题满分30分)

对于任意的正整数n,证明:

.

证明:记 , .

先证明:对任意 ,有 .

事实上,

因为 单调递增,所以 .

再证明:对任意 ,有 .

当 时, ,不等式成立.

当 时,

(1) 若 为奇数,令 ,则

(2) 若 为偶数,令 ,则

.

综上所述,对任意 ,都有 .

上述提供的高中数学联赛预赛试题希望能够符合大家的实际需要!

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