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2014届高一数学期末复习题

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2014-01-13

(III)由(Ⅱ)知,

所以………13分

21.(14分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n()个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.



现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数,回答下列问题:

(I)求a1,a2,a3,并写出an的一个递推关系;

(II)记,求和();

(提示:)

(III)证明:.

C解:(1)  ………2分

事实上,要将个圆盘全部转移到C柱上,只需先将上面个圆盘转移到B柱上,需要次转移,然后将最大的那个圆盘转移到C柱上,需要一次转移,再将柱上的个圆盘转移到C柱上,需要次转移,所以有 ………4分

(II)由(1)得:,

所以  …………6分

  …………9分

(III)(II)得:

令,则当时 

又,所以对一切有:



 …………12分

(方法二:,从第四项开始放缩求和)

另方面恒成立,所以对一切有



综上所述有:…………14分

温馨提示:同学们一定要多做高一数学期末复习题,再加上大家的努力学习,每一位同学都能取得优异的成绩!

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