(III)由(Ⅱ)知
，

所以
………13分

21.(14分)古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n(
)个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用.

现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：

(I)求a1，a2，a3，并写出an的一个递推关系;

(II)记
，求和
(
);

(提示：
)

(III)证明：
.

C解：(1)
………2分

事实上，要将
个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面
个圆盘转移到B柱上，需要
次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将
柱上的
个圆盘转移到C柱上，需要
次转移，所以有
………4分

(II)由(1)得：
，

所以

…………6分

…………9分

(III)(II)得：

令
，则当
时

又
，所以对一切
有：

…………12分

(方法二：
，从第四项开始放缩求和)

另方面
恒成立，所以对一切
有

综上所述有：
…………14分

温馨提示：同学们一定要多做高一数学期末复习题，再加上大家的努力学习，每一位同学都能取得优异的成绩!