答案：C

解法一:函数若在区间上单调,则存在反函数,易知函数y=2|x|在[0,+∞),(-∞,0],[2,4]上单调.

解法二:当x=±4时,y=8,知不是一一映射.

9.函数f(x)是增函数,它的反函数是f-1(x),若a=f(2)+f-1(2),b=f(3)+f-1(3),则下面结论中正确的是( )

A.ab D.无法确定

答案：A

解析：∵f(x)是增函数,故其反函数f-1(x)也是增函数,∴f(3)>f(2),f-1(3)>f-1(2),即b>a.

10.已知f(x)=3x-2,则f-1[f(x)]=__________________;f[f-1(x)]=__________________.

答案：x x

解析：∵f-1(x)= ,

∴f-1[f(x)]= [(3x-2)+2]=x,f[f-1(x)]=3• -2=x.

一般地,f[f-1(x)]与f-1[f(x)]的表达式总为x,但两个函数定义域不一定相同,故不一定是同一个函数.

11.函数f(x)=ax2+(a+2)x-1在x∈R上存在反函数,则f-1(1)=_______________.

答案：1

解析：依题意a=0,f(x)=2x-1,令f-1(1)=b,则f(b)=1,即2b-1=1 b=1.

12.已知函数f(x)= (x≠-a,a≠ ).

(1)求它的反函数;

(2)求使f-1(x)=f(x)的实数a的值;

(3)当a=-1时,求f-1(2).

解：(1)设y= ,∵x≠-a,∴反解得(y-3)x=2-ay.

若y=3,则a= 与a≠ 矛盾.

∴y≠3.∴x= .

∴f-1(x)= (x≠3,a≠ ).

(2)当f-1(x)=f(x)时,有 ,

整理得(a+3)x2+(a2-9)x-2(a+3)=0.

∴a+3=0,即a=-3.

(3)当a=-1时,由(1)知f-1(x)= .

∴f-1(2)=-4.

13.已知f(x)=( )2(x≥1),

(1)求f(x)的反函数f-1(x),并求出反函数的定义域;

(2)判断并证明f-1(x)的单调性.

解：(1)设y=( )2 x= ,又x≥1,

∴ ≥1 0≤y<1,即f-1(x)= ,f-1(x)的定义域为[0,1].

(2)f-1(x)在[0,1)上单调递增.

证明如下:设0≤x1

∴f-1(x1)-f-1(x2)= <0.∴f-1(x)在[0,1]上单调递增.

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14.要使函数y=x2-2ax+1在区间[1,2]上存在反函数,则a的取值范围是( )

A.a≤1 B.a≥2 C.a≤1或a≥2 D.1≤a≤2

答案：C

解析：由已知得函数y=x2-2ax+1在区间[1,2]上单调,则a≤1或a≥2.

15.已知函数y=f(x-1)的反函数为y=f-1(x-1),且f(1)=2,则f(2)的值为______________.

答案：1

解析：y=f-1(x-1) x-1=f(y) x=f(y)+1,

故y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x)+1.

故f(x-1)=f(x)+1,即f(x)=f(x-1)-1,

则f(2)=f(1)-1=1.

16.(1)已知f(x)= (a、b、c是常数)的反函数是f-1(x)= ,求a+b+c的值.

(2)设点P(-1,-2)既在函数f(x)=ax2+b(x≤0)的图象上,又在f(x)的反函数的图象上,求f-1(x).

解：(1)设y= ,解得x= ,

即f-1(x)= ,

因此, ,

由对应项系数相等得a=3,b=5,c=-2,

∴a+b+c=6.

(2)点P(-1,-2)在f(x)=ax2+b上,则-2=a(-1)2+b, ①

又∵点P(-1,-2)在f-1(x)上,

∴点(-2,-1)在f(x)上.

∴-1=a(-2)2+b. ②

由①②联立,解得a= ,b=- .

∴f(x)= x2- (x≤0).

∴f-1(x)=- (x≥- ).

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