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本文题目：高一数学教案：空间几何体的表面积和体积

EA8求是学院教学资源部KnY求是教学资源网

第十五课时 1.3.1 空间几何体的表面积

教学目标

1、通过展开柱、锥、台的侧面，进一步认识柱、锥、台.

2、了解柱、锥、台的表面积的计算公式.

教学重点

多面体和旋转体的侧面积公式.

教学难点

侧面展开图.

教学过程

一、问题情境

已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1=a，AB=，P是BB1的中点;一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，求小虫爬过的最短路程.

二、学生活动

观察下图，试配对：A： B： C： .

三、建构数学

1、平面展开图：将一个简单的多面体沿着它的某些棱将它剪开而成为平面图形，这个平面图形称为平面展开图.

2、直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱.

3、正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.

4、正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥.正棱锥的侧棱长都相等.

5、正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分.

6、侧面展开图及其公式：

(1)直棱柱：S直棱柱侧= (2)正棱锥：S正棱锥侧=

(3)正棱台：(由正棱锥截去小正棱锥) S正棱台侧=.

(4)正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间的关系可用下图表示：(见课本P.50)

(5)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系类似可用下图表示：(见课本P.50)

四、数学运用

例1、设计一个正四棱锥形冷水塔顶，高是0.85米，底面的边长是1.5米，制造这种塔顶需要多少平方米铁板?(保留两位有效数字)

例2、有一根长为5cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度为多少?(精确到0.1cm)

例3、如图，正三角形ABC的边长为4，D、E、F分别为各边的中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后;

问：(1)∠NMP等于多少度?

(2)擦去线段EN、EP、EM后剩下的几何体是什么?其侧面积为多少?

例4、已知圆锥有一个内接圆柱，此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥的底面半径，且圆柱的全面积∶圆锥的底面积=3∶2;(1)求圆锥母线与底面所成的角的正切值;(2)圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比.

学生练习：课本P.53 1、2、3、4、5、6.

五、回顾小结

本节主要学习了多面体和旋转体的侧面积公式.应注意侧面展开图的画法特征.

六、课外作业

(一)自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.030 分层训练

班级 姓名

(二)反馈练习(友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业)

[ 1.3.1 空间几何体的表面积]

1、如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB、CD在原来

正方体中位置关系是( )

A、平行 B、垂直相交且成60°

C、垂直 D、异面且成60°

2、已知圆柱的侧面积为，则当轴截面的对角线长取最小值时，圆柱母线长l与底面半径r的关系是( )

A、 B、 C、 D、

3、一张长、宽分别为8cm、4cm的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为 .

4、将半径为R的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为、、;则++的值为 .

5、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，，，，并且;

求沿着长方体的表面自A到C1的最短路线的长.

6、已知圆锥的底面半径为，母线为，侧面展开图的圆心角为，求证：.

7、(1)计算： = .

(2)函数的反函数是 .

(3)函数有最 值为 .

(4)函数的单调增区间是 .

(5)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，f(x)+g(x)=2x;则f(x)= .

1.3 空间几何体的表面积和体积(2)

班级 姓名

第十六课时 1.3.2 空间几何体的体积(1)

教学目标

1、整体理解柱、锥、台的体积公式.

2、能正确运用这些公式计算一些简单的几何体的体积.

教学重点

柱、锥、台的体积公式.

教学难点

三棱锥的等积变换.

教学过程

一、问题情境

用上口直径为34cm、底面直径为24cm、深为35cm的水桶盛得的雨水正好为桶深的五分之一，问此次的降水量为多少(精确到0.1cm)?(降水量是指单位面积的水平地面上降下的雨水的深度).

二、学生活动

(1)试将一堆排放整齐的书，推成倾斜状;看看体积有没有发生变化?

(2)将一圆柱形萝卜，斜刀一切，再原来的两底接起来，看看体积有没有变化?

(3)阅读课本，体会各公式之间的关系.

三、建构数学

1、长方体的体积：V长方体= abc = Sh.

2、柱体的体积：V柱体= Sh.

3、锥体的体积：V锥体=.

4、台体的体积：V台体=.

5、柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下：

四、数学运用

例1、有一堆相同的规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg;已知底面六边形边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm，那么约有毛坯多少个?(铁的比重为7.8g/cm3)

例2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，用截面截下一个棱锥C-A1DD1;求C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.

例3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积.

学生练习： 课本P.56 练习：1、2、3、4.

五、回顾小结

本节主要学习了柱、锥、台的体积公式.

几个重要的结论：

(1)一个几何体的体积等于它的各部分的体积之和.体积相等的两个几何体叫等积体;

全等的两个几何体一定是等积体;等底、等高的柱体或锥体是等积体.

(2)计算三棱锥体积时，可灵活选底，简化运算.

(3)柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为：

六、课外作业

(一)自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.032 分层训练 拓展延伸

班级 姓名

(二)反馈练习(友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业)

[ 1.3.2 空间几何体的体积(1)]

1、正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的二分之一时，它的体积是原来的( )

A、 B、 C、 D、

2、已知两个平行于底面的平面将棱锥的高分成相等的三段，则此棱锥被分成的三部分的体积(自上而下)之比是( )

A、1∶2∶3 B、1∶4∶9 C、1∶8∶27 D、1∶7∶19

3、一个盛满水的无盖圆柱的母线长为5dm，底面直径为4dm，将其倾斜45°后，能够流出来的水的体积为 dm3.

4、将一个正三棱柱形的木块，经车床切割加工，旋成与它等高并且尽可能大的圆柱形，则旋去部分的体积是原三棱柱体积的 倍.

5、一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，试比较它们的体积的大小.

6、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1V2两部分，求V1∶V2的值.

7、正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为，E、F分别是AA1、CC1的中点，求几何体B-EFB1的体积.

8、(复习)

(1)函数的反函数的解析表达式为( )

A、 B、 C、 D、

(2)函数的定义域为 .

(3)若，则整数= .

(4)已知为常数，若，，求的值.

1.3 空间几何体的表面积和体积(3)

班级 姓名

第十七课时 1.3.2 空间几何体的体积(2)

教学目标

1、理解球的体积公式和球的表面积公式.

2、能正确运用这些公式计算有关球的体积和表面积.

教学重点

球的体积公式和球的表面积公式.

教学难点

对公式推导的理解即“分割—求和—化为准确和”的方法的理解.

教学过程

一、问题情境

如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水;

若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r;

问：R∶r的值是多少?

二、学生活动

(1)倒沙实验：

一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，用沙粒充满后，再将其所容纳的沙粒倒入一个半径为R的半球内，结果刚好也能充满半球.说明两者体积相等.

(2)计算上图中的等高截面的面积：

上图中，取相同的高度h，试计算出等高截面的面积，并观察它们的关系.

并阅读课本，问：可用什么知识来解释此问题?

三、建构数学

1、球的体积公式：V长方体=.

由上图可推出：.

亦可由“准锥体”推出：

2、球的表面积：.

即：球的表面积是球的大圆面积的4倍.

球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，大圆的半径等于球的半径.

四、数学运用

例1、如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积.

(尺寸如图，单位：cm，取3.14，精确到1cm2和1cm3)

例2、如图，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少?

学生练习：

1、课本P.56 练习：1、2、3、4.

2、一个长、宽、高分别为80cm、60cm、55cm的水槽中有水200000cm3，现放入一个直径为50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出?

五、回顾小结

本节主要学习了球的体积公式和表面积公式.

六、课外作业

(一)自测训练：必修2 学习与评价[课课练] P.034 分层训练 拓展延伸

班级 姓名

(二)反馈练习(友情提醒：老师喜欢书写认真、过程完整、页面清洁的作业)

[ 1.3.2 空间几何体的体积(2)]

1、湖面上漂着一个球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的面积为( )

A、169 B、256 C、576 D、676

2、若一个等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的侧面积与一个球的表面积相等，则这个圆柱与这个球的体积之比是( )

A、1∶1 B、3∶4 C、4∶3 D、3∶2

3、正方体的内切球与外接球的表面积之比是 .

4、(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是 .

(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是 .

5、把长、宽分别为4、3的矩形以一条对角线为痕折成直二面角，求过此四个顶点所在球的内接正方体的表面积和体积.

6、已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?

7、如图，直角梯形O2BAO1内有一个内切半圆O，把这个平面图形绕O1O2旋转一周得到圆台有一个内切球;已知圆台全面积与球面积的比是k(k>1)，求它们的体积比.

8、(复习)

(1)设M={x|x2-(p+1)x+2=0}，N={x|x2+px+q=0}，若M N={-1}，求M N.

(2)函数f(x)的定义域为(0，+ )且单调递增，f(4)=1，f(x y)=f(x)+f(y);①求f(1)，f(16);

②若f(x)+f(x-3) 1，求x的范围.

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