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本文题目：高一数学第一单元教案：空间几何体的结构

第八编 立体几何

§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图

1.下列不正确的命题的序号是 .

①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥

答案 ①②③

2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是 .

答案 60°

3.如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度：cm)，则此几何体的表面积是 cm2.

答案 (20+4 )

4.(2008•宁夏文，14)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为 ，底面周长为3，那么这个球的体积为 .

答案

5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为 .

答案 a2

例1 下列结论不正确的是 (填序号).

①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥

④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

答案 ①②③

解析 ①错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定

是棱锥.

②错误.如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.

③错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长.

④正确.

例2 (14分)已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.

解 建立如图所示的xOy坐标系，△ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为△ABC的

高. 3分

把y轴绕原点顺时针旋转45°得y′轴，则点C变为点C′，且OC=2OC′，A、B点即为A′、

B′点，AB=A′B′. 6分

已知A′B′=A′C′=a，在△OA′C′中，

由正弦定理得 = ， 9分

所以OC′= = ,

所以原三角形ABC的高OC= a， 12分

所以S△ABC= ×a× a= 2. 14分

例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.

解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：

且AA′=BB′=CC′=4cm,正三角形ABC和正三角形A′B′C′的高为2 cm.

∴正三角形ABC的边长为

|AB|= =4.

∴该三棱柱的表面积为

S=3×4×4+2× ×42sin60°=48+8 (cm2).

体积为V=S底•|AA′|= ×42sin60°×4=16 (cm3).

故这个三棱柱的表面积为(48+8 )cm2,体积为16 cm3.

例4 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示，

求图中三角形(正四面体的截面)的面积.

解 如图所示，△ABE为题中的三角形，

由已知得AB=2，BE=2× = ,

BF= BE= ,AF= = = ,

∴△ABE的面积为

S= ×BE×AF= × × = .

∴所求的三角形的面积为 .

1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 (填序号).

①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

答案 ①③④

2.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .

答案 2 a2

3.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等

腰三角形，左视图(或称侧视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;

(2)求该几何体的侧面积S.

解 (1)由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点.

∴该几何体的体积

V= ×8×6×4=64.

(2)如图所示，侧面VAB中，VE⊥AB，则

VE= = =5

∴S△VAB= ×AB×VE= ×8×5=20

侧面VBC中，VF⊥BC，

则VF= = =4 .

∴S△VBC= ×BC×VF= ×6×4 =12

∴该几何体的侧面积

S=2(S△VAB+S△VBC)=40+24 .

4.(2007•全国Ⅱ文，15)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.

答案 2+4

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