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本文题目：高一数学教案：第一单元数学三角函数教案

第二十四教时

教材：倍角公式，推导“和差化积”及“积化和差”公式

目的：继续复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练;同时，让学生推导出和差化积和积化和差公式，并对此有所了解。

过程：

一、 复习倍角公式、半角公式和万能公式的推导过程：

例一、 已知 ， ，tan = ，tan = ，求2 + 

(《教学与测试》P115 例三)

解： ∴

又∵tan2 < 0，tan < 0 ∴ ，

∴ ∴2 +  =

例二、 已知sin  cos = ， ，求 和tan的值

解：∵sin  cos = ∴

化简得： ∴

∵ ∴ ∴ 即

二、 积化和差公式的推导

sin( + ) + sin(  ) = 2sincos  sincos = [sin( + ) + sin(  )]

sin( + )  sin(  ) = 2cossin  cossin = [sin( + )  sin(  )]

cos( + ) + cos(  ) = 2coscos  coscos = [cos( + ) + cos(  )]

cos( + )  cos(  ) =  2sinsin  sinsin =  [cos( + )  cos(  )]

这套公式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算。(在告知公式前提下)

例三、 求证：sin3sin3 + cos3cos3 = cos32

证：左边 = (sin3sin)sin2 + (cos3cos)cos2

=  (cos4  cos2)sin2 + (cos4 + cos2)cos2

=  cos4sin2 + cos2sin2 + cos4cos2 + cos2cos2

= cos4cos2 + cos2 = cos2(cos4 + 1)

= cos22cos22 = cos32 = 右边

∴原式得证

三、 和差化积公式的推导

若令 +  = ，   = φ，则 ， 代入得：

∴

这套公式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。

例四、 已知cos  cos  = ，sin  sin = ，求sin( + )的值

解：∵cos  cos  = ，∴ ①

sin  sin  = ，∴ ②

∵ ∴ ∴

∴

四、 小结：和差化积，积化和差

五、 作业：《课课练》P36—37 例题推荐 1—3

P38—39 例题推荐 1—3

P40 例题推荐 1—3

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