19.  如图8-12,球面上有四个点P.A.B.C,如果PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积.

20.如图7-15,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,D.E分别是AC1.BB1的中点,

(1)求证：DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度;

(2)求二面角E—AC1—C的大小;

(3)求点C1到平面AEC的距离.

高一数学寒假作业四参考答案

一、 选择题(每小题3分,共计30分)

1-5 CBCDD        6-10 CADAB

二.填空题(每小题4分,共计24分)

11.   12.     13.      14.2      15.3或7      16. 或

三.解答题：(共46分,其中17题10分,其他各题12分)解答题应写出文字说明.证明过程或演算步骤.

17.解：

(1)又 ,∴  ;

(2)又 ,

得 .

∴

18. (2)略 +7分   (3)

19.解  如图8-12,设过A.B.C三点的球的截面圆半径为r,圆心为O′,球心到该圆面的距离为d.在三棱锥P—ABC中,

∵PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA= a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′.

由正弦定理,得   =2r,∴r= a.

又根据球的截面的性质,有OO′⊥平面ABC,而PO′⊥平面ABC,

∴P.O.O′共线,球的半径R= .又PO′= = = a,

∴OO′=R -  a=d= ,(R- a)2=R2 – ( a)2,解得R= a,

∴S球=4πR2=3πa2.

注  本题也可用补形法求解.将P—ABC补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径R= a,下略