如何提高学习率，需要我们从各方面去努力。小编为大家整理了2015年高三数学“函数与方程”例题名师解读，希望对大家有所帮助。

一、选择题

1.已知函数f(x)=2x3-x2+m的图象上A点处的切线与直线x-y+3=0的夹角为45°，则A点的横坐标为(　　)

A.0　　 　　B.1　　 　　C.0或　 D.1或

答案：C　命题立意：本题考查导数的应用，难度中等.

解题思路：直线x-y+3=0的倾斜角为45°，

切线的倾斜角为0°或90°，由f′(x)=6x2-x=0可得x=0或x=，故选C.

易错点拨：常见函数的切线的斜率都是存在的，所以倾斜角不会是90°.

2.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)

A.[-1,2] B.[0,2]

C.[1，+∞) D.[0，+∞)

答案：D　命题立意：本题考查分段函数的相关知识，求解时可分为x≤1和x>1两种情况进行求解，再对所求结果求并集即得最终结果.

解题思路：若x≤1，则21-x≤2，解得0≤x≤1;若x>1，则1-log2 x≤2，解得x>1，综上可知，x≥0.故选D.

3.函数y=x-2sin x，x的大致图象是(　　)

答案：D　解析思路：因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A，B.函数的导数为f′(x)=1-2cos x，由f′(x)=1-2cos x=0，得cos x=，所以x=.当00，函数单调递增，所以当x=时，函数取得极小值.故选D.

4.已知函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)=2x;当x<4时，f(x)=f(x+1)，则f=(　　)

A.　 　　B.　　 　C.12　　 　　D.24

答案：D　命题立意：本题考查指数式的运算，难度中等.

解题思路：利用指数式的运算法则求解.因为2+log =2+log2 3(3,4)，所以f=f=f(3+log2 3)=23+log2 3=8×3=24.

5.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-af(x)=0恰好有5个不同的实数解，则a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(0,2) C.(1,2) D.(0,3)

答案：

A　解题思路：设t=f(x)，则方程为t2-at=0，解得t=0或t=a，

即f(x)=0或f(x)=a.

如图，作出函数的图象，

由函数图象可知，f(x)=0的解有两个，

故要使方程f2(x)-af(x)=0恰有5个不同的解，则方程f(x)=a的解必有三个，此时0

6.若R上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，且当0

A.4 020 B.4 022 C.4 024 D.4 026

答案：B　命题立意：本题考查函数性质的应用及数形结合思想，考查推理与转化能力，难度中等.

解题思路：由于函数图象关于直线x=1对称，故有f(-x)=f(2+x)，又函数为奇函数，故-f(x)=f(2+x)，从而得-f(x+2)=f(x+4)=f(x)，即函数以4为周期，据题意其在一个周期内的图象如图所示.

又函数为定义在R上的奇函数，故f(0)=0，因此f(x)=+f(0)=，因此在区间(2 010，2 012)内的函数图象可由区间(-2,0)内的图象向右平移2 012个单位得到，此时两根关于直线x=2 011对称，故x1+x2=4 022.

7.已知函数满足f(x)=2f，当x[1,3]时，f(x)=ln x，若在区间内，函数g(x)=f(x)-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案：A　思路点拨：当x∈时，则1<≤3，

f(x)=2f=2ln=-2ln x.

f(x)=

g(x)=f(x)-ax在区间内有三个不同零点，即函数y=与y=a的图象在上有三个不同的交点.

当x∈时，y=-，

y′=<0，

y=-在上递减，

y∈(0,6ln 3).

当x[1,3]时，y=，

y′=，

y=在[1，e]上递增，在[e,3]上递减.

结合图象，所以y=与y=a的图象有三个交点时，a的取值范围为.

8.若函数f(x)=loga有最小值，则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.(0,1)(1，)

C.(1，) D.[，+∞)

答案：C　解题思路：设t=x2-ax+，由二次函数的性质可知，t有最小值t=-a×+=-，根据题意，f(x)有最小值，故必有解得1

9.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

答案：

C　命题立意：本题考查函数与方程以及数形结合思想的应用，难度中等.

解题思路：由g(x)=f(x)-m=0得f(x)=m，作出函数y=f(x)的图象，当x>0时，f(x)=x2-x=2-≥-，所以要使函数g(x)=f(x)-m有三个不同的零点，只需直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个交点即可，如图.只需-

10.在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，bR，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：

(1)对任意a，bR，a*b=b*a;

(2)对任意aR，a*0=a;

(3)对任意a，bR，(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.

关于函数f(x)=(3x)*的性质，有如下说法：函数f(x)的最小值为3;函数f(x)为奇函数;函数f(x)的单调递增区间为，.其中所有正确说法的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

答案：B　解题思路：f(x)=f(x)*0=*0=0]3x×+[(3x)*0]+)-2×0=3x×+3x+=3x++1.

当x=-1时，f(x)<0，故错误;因为f(-x)=-3x-+1≠-f(x)，所以错误;令f′(x)=3->0，得x>或x<-，因此函数f(x)的单调递增区间为，，即正确.

二、填空题

11.已知f(x)=若f[f(0)]=4a，则实数a=________.

答案：2　命题立意：本题考查了分段函数及复合函数的相关知识，对复合函数求解时，要从内到外逐步运算求解.

解题思路：因为f(0)=2，f(2)=4+2a，所以4+2a=4a，解得a=2.

12.设f(x)是定义在R上的奇函数，在(-∞，0)上有2xf′(2x)+f(2x)<0且f(-2)=0，则不等式xf(2x)<0的解集为________.

答案：(-1,0)(0,1)　命题立意：本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，难度中等.

解题思路：[xf(2x)]′=2xf′(2x)+f(2x)<0，故函数F(x)=xf(2x)在区间(-∞，0)上为减函数，又由f(x)为奇函数可得F(x)=xf(2x)为偶函数，且F(-1)=F(1)=0，故xf(2x)<0F(x)<0，当x<0时，由单调性可得不等式的解集为(-1,0);同理可得当x>0时，不等式解集为(0,1)，故原不等式解集为(-1,0)(0,1).

13.函数f(x)=|x-1|+2cos πx(-2≤x≤4)的所有零点之和为________.

答案：6　命题立意：本题考查数形结合及函数与方程思想的应用，充分利用已知函数的对称性是解答本题的关键，难度中等.

解题思路：由于函数f(x)=|x-1|+2cos πx的零点等价于函数g(x)=-|x-1|，h(x)=2cos πx的图象在区间[-2,4]内交点的横坐标.由于两函数图象均关于直线x=1对称，且函数h(x)=2cos πx的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线x=1对称，故其在三个周期[-2,4]内所有零点之和为3×2=6.

14.已知函数f(x)=ln ，若f(a)+f(b)=0，且0

答案：　命题立意：本题主要考查对数函数的运算，函数的值域，考查运算求解能力，难度中等.

解题思路：由题意可知，ln +ln =0，

即ln=0，从而×=1，

化简得a+b=1，

故ab=a(1-a)=-a2+a=-2+，

又0

故0<-2+<.

B组

一、选择题

1.已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)单调递减，则满足不等式f(2x-1)>f成立的x取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案：B　解析思路：因为偶函数的图象关于y轴对称，在区间[0，+∞)单调递减，所以f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(2x-1)>f，则-<2x-1<，

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