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高三数学知识点:双曲线方程知识点

编辑:sx_zhangjh

2014-09-05

高三数学知识点:双曲线方程知识点

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双曲线方程

1. 双曲线的第一定义:

⑴①双曲线标准方程:

. 一般方程:

.

 

⑵①i. 焦点在x轴上:

顶点:

  焦点:

   准线方程

 渐近线方程:

ii. 焦点在

轴上:顶点:

.  焦点:

. 准线方程:

.  渐近线方程:

,参数方程:

 .

 

②轴

为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c.  ③离心率

.   ④准线距

(两准线的距离);通径

.  ⑤参数关系

.  ⑥焦点半径公式:对于双曲线方程

(

分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

 

“长加短减”原则:

 构成满足

  

(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)

 

⑶等轴双曲线:双曲线

称为等轴双曲线,其渐近线方程为

,离心率

.

 

⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.

互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:

.

 

⑸共渐近线的双曲线系方程:

的渐近线方程为

如果双曲线的渐近线为

时,它的双曲线方程可设为

.

 

例如:若双曲线一条渐近线为

且过

,求双曲线的方程?

 

解:令双曲线的方程为:

,代入

.

 

⑹直线与双曲线的位置关系:

区域①:无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域②:即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;

区域③:2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;

区域④:即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;

区域⑤:即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结:过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入

法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

 

⑺若P在双曲线

,则常用结论1:P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.

 

简证:

  = 

.

 

常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

以上就是小编为大家整理的 高三数学知识点:双曲线方程知识点

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