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2014-08-25
2014数学知识点柯西不等式之高三
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一、一般形式
(∑(ai))(∑(bi)) ≥ (∑ai·bi)
等号成立条件:a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零。
一般形式的证明
(∑(ai^2))(∑(bi^2)) ≥ (∑ai·bi) ^2
证明:
等式左边=(ai·bj+aj·bi)+.................... 共n2 /2项
等式右边=(ai·bi)·(aj·bj)+(aj·bj)·(ai·bi)+...................共n2 /2项
用均值不等式容易证明 等式左边≥等式右边 得证
二、向量形式
|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,...,bn)(n∈N,n≥2)
等号成立条件:β为零向量,或α=λβ(λ∈R)。
向量形式的证明
令m=(a1,a2,…,an),n=(b1,b2,…,bn) m·n=a1b1+a2b2+…+anbn=|m||n|cos<m,n>=√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) ×cos<m,n> ∵cos<m,n>≤1 ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤√(a1+a2+…+an) ×√(b1+b2+…+bn) 注:“√”表示平方根。
以上就是小编为大家整理的数学知识点柯西不等式之高三。
标签:高三数学知识点
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