(Ⅱ)由(Ⅰ)知， =-3是 的极小值点，所以有

解得 ，    ………… ……………………………… ………………11分

所以 .

的单调增区间是(-3，0),单调减区间是(-∞，-3),(0，+∞)，

为函数 的极大值,  …………………………………………………12分

在区间  上的最大值取 和 中的最大者.  …………….13分

而 >5，所以函数f(x)在区间 上的最大值是 ..…14分

19.(本题共13分)曲线 都是以原点O为对称中心、离心率相等的椭圆 . 点M的坐标是(0,1),线段MN是 的短轴，是 的长轴 . 直线 与 交于A,D两点(A在D的左侧)，与 交于B,C两点(B在C的左侧).

(Ⅰ)当m=  ，  时，求椭圆 的方程;

(Ⅱ)若OB∥AN，求离心率e的取值范围.

解：(Ⅰ)设C1的方程为  ,C2的方程为 ,其中 ...2分

C1 ,C2的离心率相同，所以 ,所以 ，……………………….…3分

C2的方程为 .

当m= 时，A ,C . .………………………………………….5分

又  ,所以， ，解得a=2或a= (舍)， ………….…………..6分

C1 ,C2的方程分别为 ， .………………………………….7分

(Ⅱ)A(- ,m),  B(- ,m) . …………………………………………9分

OB∥AN,  ,

,   . …………………………………….11分

， ，  . ………………………………………12分

， ， .........................................................13分

20.(本题共1 3分)已知曲线  ， 是曲线C上的点，且满足 ，一列点 在x轴上，且 是坐标原点)是以 为直角顶点的等腰直角三角形.

(Ⅰ)求 ， 的坐标;

(Ⅱ)求数列 的通项公式;

(Ⅲ)令 ，是否存在正整数N，当n≥N时，都有 ，若存在，写出N的最小值并证明;若不存在，说明理由.

解：(Ⅰ) ∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形，

直线B0A1的方程为y=x.

由  得 ，即点A1的坐标为(2，2)，进而得 .…..3分

(Ⅱ)根据 和 分别是以 和 为直角顶点的等腰直角三角形可         得  ，即  .(*) …………………………..5分

和 均在曲线 上，  ，

，代入(*)式得 ，

，    ………………………………………………………..7分

数列 是以 为 首项，2为公差的等差数列，

其通项公式为 ( ). ……………………………………………....8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知， ，

，   ……………………………………………………9分

， .

=  = .….……………..…………10分

. ……………………….11分

(方法一) - = .

当n=1时 不符合题意，

猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有 .( )

观察知 ，欲证( )式，只需证明当n≥2时， n+1<2n

以下用数学归纳法证明如下：

(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边<右边;

(2)假设n=k(k≥2)时，(k+1)<2k,

当n=k+1时，左边=(k+1)+1<2k+1<2k+2k=2k+1=右边,

对于一切大于或等于2的正整数，都有n+1<2n ，即 < 成立.

综上，满足题意的n的最小值为2.  ……………………………………………..13分

(方法二)欲证 成立，只需证明当n≥2时，n+1<2n.

，

并且 ，

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