第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分).

11. 展开式的常数项是 .(结果用数值作答)

12.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 个图案中需用黑色瓷砖___________块.

13.已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围是 .

14.给出下列三个命题：①若直线 过抛物线 的焦点，且与这条抛物线交于 两点，则 的最小值为 ;②双曲线 的离心率为 ;③若 ,则这两圆恰有 条公切线.④若直线 与直线 互相垂直，则 .

其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)

15.(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)

.(几何证明选讲选做题)，点 是圆 上的点， 且 ，则圆 的面积等于 .

.(不等式选讲选做题)若存在实数 满足 ,则实数 的取值范围为_________.

.(极坐标与参数方程选讲选做题)设曲线 的参数方程为 ( 为参数)，直线 的方程为 ，则曲线 上到直线 距离为 的点的个数有_________个.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分).

16.(本小题满分12分)已知函数

的图象的一部分如下图所示.

(Ⅰ)求函数 的解析式;

(Ⅱ)当 时,求函数 的最大值与最小值及相应的 的值.

17.(本小题满分12分)已知函数 .

(Ⅰ)设函数 的图像的顶点的纵坐标构成数列 ，求证： 为等差数列;

(Ⅱ)设函数 的图像的顶点到 轴的距离构成数列 ，求 的前 项和 .

18.(本小题满分12分)已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(Ⅰ)证明： ⊥平面 ;

(Ⅱ)求平面 与平面 所成角的余弦值;

19.(本小题满分12分)某班同学利用寒假进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

(Ⅰ)补全频率分布直方图并求 、 、 的值;

(Ⅱ)从 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 人参加户外低碳体验活动，其中选取 人作为领队，记选取的 名领队中年龄在 岁的人数为 ，求 的分布列和期望 .

20. (本小题满分13分)已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切， 分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆 上的动点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若 与 均不重合，设直线 与 的斜率分别为 ，证明： 为定值;

(Ⅲ) 为过 且垂直于 轴的直线上的点，若 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

21.(本小题满分14分)

已知函数 .

(Ⅰ)若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值;

(Ⅱ)求 的单调区间;

(Ⅲ)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围.

高三数学下学期期中试题：理科含答案：