若F在AB上，则AE+AF=3-AE+4-AF+3，∴ AE+AF=5.

∴ AF=72<4.

在△ABC中，cosA=23.

在△AEF中，EF2=AE2+AF2-2AE•AFcosA=94+494-2×32×72×23=152，

∴ EF=302 即小路一端E为AC的中点时小路的长度为302(百米).

(2) 若小道的端点E、F点都在两腰上，，设CE=x，CF=y，

则x+y=5，

S1S2=S△CAB-S△CEFS△CEF=S△CABS△CEF-1

=12CA•CBsinC12CE•CFsinC-1

=9xy-1≥ =1125 (当x=y=52时取等号);

若小道的端点E、F分别在一腰(不妨设腰AC)上和底上，

设AE=x，AF=y，则x+y=5，

S1S2=S△ABC-S△AEFS△AEF=S△ABCS△AEF-1=12xy-1≥ =2325 (当x=y=52时取等号)

答：最小值是1125.

22.(本题满分16分.第(1)小题7分，第(2)小题9分)

已知方向向量为 的直线l过椭圆 的焦点以及点 ，直线l与椭圆C交于 A 、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为 .

(1)求椭圆C的方程

(2)(文)过左焦点 且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，当 的面积为 时(O坐标原点)，求直线m的方程

(理)过左焦点 且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，当 (O坐标原点)，求直线m的方程

解：(1)

直线 与x轴交点即为椭圆的右焦点 ∴c=2

由已知⊿ 周长为 ，则4a= ，即 ，所以

故椭圆方程为

(2)椭圆的左焦点为 ，则直线m的方程可设为

代入椭圆方程得：

设

∵

所以， ，即

又

原点O到m的距离 ，

则

解得

23.(本题满分18分.第(1)小题4分，第(2)小题6分，第(3)小题8分)

已知等比数列 的首项 ，数列 前n项和记为 ， 。

(1)求等比数列 的公比

(2)求数列 的最大项和最小项;

(3)证明 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差构成一个数列 ，证明:数列 为等比数列。

解：(1)

∴

(2)

① 当n是奇数时， , 单调递减， ,

② 当n是偶数时， , 单调递增， ;

综上，当n=1时， ; 当n=2时， .

(3) 随n增大而减小，数列 的奇数项均正数且递减，偶数项均负数且递增.

①当n是奇数时，调整为 .则

， ，

成等差数列;

②当n是偶数时，调整为 ;则

， ，

成等差数列;

综上可知，数列 中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列

①n是奇数时，公差 ;

②n是偶数时，公差 .

无论n是奇数还是偶数，都有 ，则 ，

因此，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.

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