因为A,B,C为 的内角，所以 ，

所以 .

又因为 ，所以 ,

所以 .

从而 .……………………………………………10分

又因为 ,所以 ，即 .

所以 为直角三角形. ……………………………………………12分

20.本小题主要考查频率分布表、古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等.满分12分.

解：(Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为 ，PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为 .

所以5天任取2天的情况有： ， ， ， ， ， ， ， ， 共10种. ……………………4分

其中符合条件的有：

， ， ， ， ， 共6种. …………6分

所以所求的概率 . ……………………8分

(Ⅱ)去年该居民区PM2.5年平均浓度为： (微克/立方米).

……………………………………………10分

因为 ，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进. ………………………………12分

21. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等.满分12分.

解法一：(Ⅰ)由条件可知，点 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以点 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，其方程为 .………4分

(Ⅱ)假设 是直角三角形，不失一般性，设 ，

， ， ，则由 ，

， ，

所以 .…………………………6分

因为 ， ， ，

所以 .……………………………8分

又因为 ，所以 ， ，

所以 . ①

又 ，

所以 ，即 . ②………10分

由①，②得 ，所以 . ③

因为 .

所以方程③无解，从而 不可能是直角三角形.…………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)设 ， ， ，由 ，

得 ， .……………………………6分

由条件的对称性，欲证 不是直角三角形，只需证明 .

当 轴时， ， ，从而 ， ，

即点 的坐标为 .

由于点 在 上，所以 ，即 ，

此时 ， ， ，则 .…………8分

当 与 轴不垂直时，

设直线 的方程为： ，代入 ，

整理得： ，则 .

若 ，则直线 的斜率为 ，同理可得： .

由 ，得 ， ， .

由 ，可得 .

从而 ，

整理得： ，即 ，①

.

所以方程①无解，从而 .……………………………11分

综合 ， ， 不可能是直角三角形.………………………12分

22. 本题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、考查化归与转化思想.满分12分.解法一：(Ⅰ)因为 ，所以 ，

函数 的图象在点 处的切线斜率 .

由 得： . …………………4分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知， ，令 .

因为 ， ，所以 在 至少有一个

根.

又因为 ，所以 在 上递增，

所以函数 在 上有且只有一个零点，即方程 有且只有一

个实根. ………………… 7分

(Ⅲ)证明如下：

由 ， ，可求得曲线 在点 处的切

线方程为 ，

即 . ………………… 8分

记

，

则 . ………………… 11分

(1)当 ，即 时， 对一切 成立，

所以 在 上递增.

又 ，所以当 时 ，当 时 ，

即存在点 ，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线

在该点处切线的两侧. ………………… 12分

(2)当 ，即 时，

时， ; 时， ;

时， .

故 在 上单调递减，在 上单调递增.

又 ，所以当 时， ;当 时， ，

即曲线在点 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的

同侧. ………………… 13分

(3)当 ，即 时，

时， ; 时， ; 时， .

故 在 上单调递增，在 上单调递减.

又 ，所以当 时， ;当 时， ，

即曲线在点 附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧.

综上，存在唯一点 使得曲线在点 附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧. ………………… 14分

解法二：(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一;

(Ⅲ)证明如下：

由 ， ，可求得曲线 在点 处的切

线方程为 ，

即 . ……………… 8分

记

，

则 . ………………… 11分

若存在这样的点 ，使得曲线 在该点附近的左、右两部分都

位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，

由二次函数的性质知，当且仅当 ，即 时，

t不是极值点，即 .

所以 在 上递增.

又 ，所以当 时， ;当 时， ，

即存在唯一点 ，使得曲线在点 附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧. ………………… 14

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