此套教程为曲线与方程复习试题，思路清晰，难易结合，快来查阅

1.设m>1，则关于x，y的方程(1-m)x2+y2=m2-1表示的曲线是

(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线

D.焦点在y轴上的双曲线

答案：D

2.动点P为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为

(　　)

A.椭圆　　　　　　　 B.双曲线

C.抛物线 D.直线

解析：如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.

∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|+|F2N|=|F1N|+|F2N|=|F1F2|+2|F2N|=2a，

∴|F2N|=a-c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，

∴圆心C的轨迹为直线.

答案：D

3.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为

(　　)

A.圆 B.椭圆

C.双曲线 D.抛物线

答案：D

4.(2014•河北廊坊二模)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为

(　　)

A.直线 B.圆

C.椭圆 D.双曲线

解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，

∴P到y轴的距离d=32R，即|x|=32R.

而R=|PF|=x-a2+y2，

∴|x|=32•x-a2+y2.

整理得(x+3a)2-3y2=12a2，

即x+3a212a2-y24a2=1.

∴点P的轨迹为双曲线.

答案：D

5.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点，定点M(-1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则Q点的轨迹方程是________.

解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(-2-x,4-y)，代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.

答案：2x-y+5=0

6.P是椭圆x2a2+y2b2=1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→=PF1→+PF2→，则动点Q的轨迹方程是________.

解析：由OQ→=PF1→+PF2→，

又PF1→+PF2→=PM→=2PO→

=-2OP→，

设Q(x，y)，则OP→=-12OQ→

=-12(x，y)=-x2，-y2，

即P点坐标为-x2，-y2，又P在椭圆上，

则有-x22a2+-y22b2=1，即x24a2+y24b2=1.

答案：x24a2+y24b2=1

7.(2014•广东阳江调研)已知点A(-2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→•PB→=x2-6，则动点P的轨迹是________.

解析：∵动点P(x，y)满足PA→•PB→=x2-6，∴(-2-x，-y)•(3-x，-y)=x2-6，∴动点P的轨迹方程是y2=x，轨迹为抛物线.

答案：抛物线

8.如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.

解：设点M的坐标为(x，y)，

∵M是线段AB的中点，

∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y).

∴PA→=(2x-2，-4)，PB→=(-2,2y-4)

由已知PA→•PB→=0，∴-2(2x-2)-4(2y-4)=0，

即x+2y-5=0.

∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.

9.已知点A(1,0)，直线l：y=2x-4，点R是直线l上的一点，若RA→=AP→，求点P的轨迹方程.

解：∵RA→=AP→，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，

设P(x，y)，R(x1，y1)，则由RA→=AP→，

得(1-x1，-y1)=(x-1，y)，则1-x1=x-1-y1=y，

即x1=2-x，y1=-y，

将其代入直线y=2x-4中，得y=2x.

∴点P的轨迹方程为y=2x.

B组　能力突破

1.已知点M到双曲线y25-x220=1的两个焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程是

(　　)

A.x2+y2+50x+25=0或x2+y2-50x+25=0

B.x2+y2+26x-25=0或x2+y2-26x-25=0

C.x2+y2+50y-25=0或x2+y2-50y-25=0

D.x2+y2+26y+25=0或x2+y2-26y+25=0

解析：设M(x，y)，因为双曲线y25-x220=1的两个焦点是F1(0,5)，F2(0，-5)，

所以|MF1|∶|MF2|=2∶3或|MF2|∶|MF1|=2∶3，即x2+y-52x2+y+52=23或x2+y+52x2+y-52=23，化简得x2+y2-26y+25=0或x2+y2+26y+25=0.故选D.

答案：D

2.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是

(　　)

A.4 B.33

C.43 D.8

解析：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-1，抛物线的焦点坐标为(1,0).直线AF的方程为y=3(x-1)，解方程组y2=4xy=3x-1，得x=3y=23或x=13y=-233，因为点A在x轴的上方，所以x=3y=23符合题意，即点A坐标为(3,23)，|AK|=3+1=4，点F到直线AK的距离d即为点A的纵坐标23，因此S△AKF=12|AK|•d=43.

答案：C

3.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(-2,1)，B(-1,3)，若点C满足OC→=αOA→+βOB→，其中α，β∈[0,1]且α+β=1，则点C的轨迹方程是________.

解析：设C(x，y)，则x=-2α-β，y=α+3β，

整理得α=-3x+y5，β=x+2y5，

将其代入α+β=1中整理得2x-y+5=0，

又x=-2α-β=-2α-(1-α)=(-α-1)∈[-2，-1]，

所以点C的轨迹方程是2x-y+5=0，x∈[-2，-1].

答案：2x-y+5=0，x∈[-2，-1]

4.如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|=45|PD|.

(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程;

(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.

解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，

由已知得xP=x，yP=54y，∵P在圆上，

∴x2+54y2=25，即轨迹C的方程为x225+y216=1.

(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3)，

设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线方程y=45(x-3)代入C的方程，得

x225+x-3225=1，即x2-3x-8=0.

∴x1=3-412，x2=3+412.

∴线段AB的长度为|AB|=x1-x22+y1-y22

=1+k2x1-x22=4125×41=415.