总结提高

合情推理与演绎推理是两种基本的思维推理方式.尽管合情推理(归纳、类比)得到的结论未必正确，但归纳推理与类比推理具有猜想和发现新结论、探索和提供证明的新思路的重要作用，特别在数学学习中，我们可以由熟悉的、已知的知识领域运用归纳、类比思维获取发现和创造的灵感去探索陌生的、未知的知识领域.演绎推理是数学逻辑思维的主要形式，担负着判断命题真假的重要使命.如果说合情推理是以感性思维为主，只需有感而发;那么演绎推理则是以理性思维为主，要求言必有据.在近几年高考中一道合情推理的 试题往往会成为一套高考试题的特色与亮点，以彰显数学思维的魅力.其中数列的通项公式、求和公式的归纳、等差数列与等比数列、平面与空间、圆锥曲线与圆、杨辉三角等的类比的考查频率较大.而演绎推理的考查则可以渗透到每一道试题中.

14.2　直接证明与间接证明

典例精析

题型一　运用综合法证明

【例1】设a>0，b>0，a+b=1，求证：1a+1b+1ab≥8.

【证明】因为a+b=1，

所以1a+1b+1ab=a+ba+a+bb+a+bab=1+ba+1+ab+a+bab≥2+ +a+b(a+b2)2=2+2+4=8，当且仅当a=b=12时等号成立.

【点拨】在用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从已知逐渐引出结论.

【变式训练1】设a，b，c>0，求证：a2b+b2c+c2a≥a+b+c.

【证明】因为a，b，c>0，根据基本不等式，

有a2b+b≥2a，b2c+c≥2b，c2a+a≥2c.

三式相加：a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2(a+b+c).

即a2b+b2c+c2a≥a+b+c.

题型二　运用分析法证明

【例2】设a、b、c为任意三角形三边长，I=a+b+c，S=ab+bc+ca.求证：I2<4S.

【证明】由I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S，

故要证I2<4S，只需证a2+b2+c2+2S<4S，即a2+b2+c2<2S.

欲证上式，只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0，

即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0，

只需证三括号中的式子均为负值即可，

即证a2

即a

显然成立，因为三角形任意一边小于其他两边之和.

故I2<4S.

【点拨】(1)应用分析法易于找到思路的起始点，可探求解题途径.

(2)应用分析法证明问题时要注意：严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.

【变式训练2】已知a>0，求证：a2+1a2-2≥a+1a-2.

【证明】要证a2+1a2-2≥a+1a-2，

只要证a2+1a2+2≥a+1a+2.

因为a>0，故只要证(a2+1a2+2)2≥(a+1a+2)2，

即a2+1a2+4a2+1a2+4≥a2+2+1a2+22(a+1a)+2，

从而只要证2a2+1a2≥2(a+1a)，

只要证4(a2+1a2)≥2(a2 +2+1a2)，即a2+1a2≥2，

而该不等式显然成立，故原不等式成立.

题型三　运用反证法证明

【例3】 若x，y都是正实数，且x+y>2.求证：1+xy<2或1+yx<2中至少有一个成立.

【证明】假设1+xy<2和1+yx<2都不成立.则1+xy≥2，1+yx≥2同时成立.

因为x>0且y>0，所以1+x≥2y且1+y≥2x，

两式相加得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，这与已知条件x+y>2相矛盾.

因此1+xy<2与1+yx<2中至少有一个成立.

【点拨 】一般以下题型用反证法：①当“结论”的反面比“结论”本身更简单、更具体、更明确;②否定命题，唯一性命题，存在性命题，“至多”“至少”型命题;③有的肯定形式命题，由于已知或结论涉及到无限个元素，用直接证明形式比较困难因而往往采用反证法.

【变式训练3】已知下列三个方程：x2+4ax-4a+3=0;x2+(a-1)x+a2=0;x2+2ax-2a=0，若至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.

【解析】假设三个方程均无实根，则有

由(4a)2-4(-4a+3)<0，得4a2+4a-3<0，即-32

由(a-1)2-4a2<0，得(a+1)(3a-1)>0，即a<-1或a>13;

由(2a)2-4(-2a)<0，得a(a+2)<0，即-2

以上三部分取交集得M={a|-32

总结提高

分析法与综合法各有其优缺点：分析法是执果索因，比较容易寻求解题思路，但叙述繁琐;综合法叙述简洁，但常常思路阻塞.因此在实际解题时，需将两者结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法简洁地叙述解题过程.从逻辑思维的角度看，原命题“p⇒q”与逆否命题“ q⇒ p”是等价的，而反证法是相当于由“ q”推出“ p”成立，从而证明了原命题正确.因此在运用反证法的证明过程中要特别注意条件“ q”的推理作用.综合法与分析法在新课标中第一次成为独立的显性的课题，预测可能有显性的相关考试命题.反证法证明的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾，或与假设矛盾或与定义、公理、公式事实矛盾等.

14.3　数学归纳法

典例精析

题型一　用数学归纳法证明恒等式

【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N*都成立?若存在，求出a、b、c并证明;若不存在，试说明理由.

【解析】 假设存在a、b、c使12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切n∈N*都成立.

当n=1时，a(b+c)=1;

当n=2时，2a(4b+c)=6;

当n=3时，3a(9b+c)=19.

解方程组 解得

证明如下：

当n=1时，显然成立;

假设n=k(k∈N*，k≥1)时等式成立，

即12+22+32+…+k2+ (k-1)2 +…+22+12=13k(2k2+1);

则当n=k+1时，

12+22+32+…+k2+(k+1)2+k2+(k-1)2+…+22+12=13k(2k2+1)+(k+1)2+k2

=13k(2k2+3k+1)+(k+1)2=13k(2k+1)(k+1)+(k+1)2

=13(k+1)(2k2+4k+3)=13(k+1)[2(k+1)2+1].

因此存在a=13，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立.

【点拨】 用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n=k到n=k+1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.

【变式训练1】用数学归纳法证明：

当n∈N*时，11×3+13×5+…+1(2n-1)(2n+1)=n2n+1.

【证明】(1)当n=1时，左边=11×3=13，右边=12×1+1=13，

左边=右边，所以等式成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立，即有11×3+13×5+…+1(2k-1)(2k+1)=k2k+1，

则当n=k+1时，

11×3+13×5+…+1(2k-1)(2k+1)+1(2k+1)(2k+3)=k2k+1+1(2k+1)(2k+3)

=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)=2k2+3k+1(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1，

所以当n=k+1时，等式也成立.

由(1)(2)可知，对一切n∈N*等式都成立.

题型二　用数学归纳法证明整除性问题

【例2】 已知f(n)=(2n+7)•3n+9，是否存在自然数m使得任意的n∈N*，都有m整除f(n)?若存在，求出最大的m值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.

【解析】 由f(1)=36，f(2)=108，f(3)=360，猜想：f(n)能被36整除，下面用数学归纳法证明.

(1)当n=1时，结论显然成立;

(2)假设当n=k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即f(k)=(2k+7)•3k+9能被36整除.

则当n=k+1时，f(k+1)=(2k+9)•3k+1+9=3[(2k+7)•3k+9]+18(3k-1-1)，

由假设知3[(2k+7)•3k+9]能被36 整除，又3k-1-1是 偶数，

故18(3k-1-1)也能被36 整除.即n=k+1时结论也成立.