∵△AMN为锐角三角形，∴ ，则 ，

又B在曲线段C上，

则曲线段C的方程为

例7如图所示，设抛物线 与圆 在x轴上方的交点为A、B，与圆 在x由上方的交点为C、D，P为AB中点，Q为CD的中点.(1)求 .(2)求△ABQ面积的最大值.

分析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出 .

解：(1)设

由 得： ，

由 得 ，

同 类似，

则 ，

(2)

，∴当 时， 取最大值 .

例8　已知直线 过原点，抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴的正半轴上，且点 和点 关于直线 的对称点都在 上，求直线 和抛物线 的方程.

分析：设出直线 和抛物线 的方程，由点 、 关于直线 对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程.或设 ，利用对称的几何性质和三角函数知识求解.

解法一：设抛物线 的方程为 ，直线 的方程为 ，

则有点 ，点 关于直线 的对称点为 、 ，

则有 解得

解得

如图， 、 在抛物线上

∴

两式相除，消去 ，整理，得 ，故 ，

由 ， ，得 .把 代入，得 .

∴直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 .

解法二：设点 、 关于 的对称点为 、 ，

又设 ，依题意，有 ， .

故 ， .

由 ，知 .

∴ ， .

又 ， ，故 为第一象限的角.

∴ 、 .

将 、 的坐标代入抛物线方程，得

∴ ，即 从而 ， ，

∴ ，得抛物线 的方程为 .

又直线 平分 ，得 的倾斜角为 .

∴ .

∴直线 的方程为 .

说明：

(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到.

(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时，这种方法是最常规方法，需要重点掌握.

例9　如图，正方形 的边 在直线 上， 、 两点在抛物线 上，求正方形 的面积.

分析：本题考查抛物线的概念及其位置关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及分析问题、解决问题的能力.

解：∵直线 ， ，∴设 的方程为 ，且 、 .

由方程组 ，消去 ，得 ，于是

， ，∴ (其中 )

∴ .

由已知， 为正方形， ，

∴ 可视为平行直线 与 间的距离，则有

，于是得 .

两边平方后，整理得， ，∴ 或 .

当 时，正方形 的面积 .

当 时，正方形 的面积 .

∴正方形 的面积为18或50.

说明：运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法，本题应充分考虑正方形这一条件.

例10　设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为 时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ，求这彗星与地球的最短距离.

分析：利用抛物线有关性质求解.

解：如图，设彗星轨道方程为 ， ，焦点为 ，

彗星位于点 处.直线 的方程为 .

解方程组 得 ，

故 .

.

故 ，得 .

由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点，所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ，所以彗星与地球的最短距离为 或 ，( 点在 点的左边与右边时，所求距离取不同的值).

说明：

(1)此题结论有两个，不要漏解;

(2)本题用到抛物线一个重要结论：顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点，其证明如下：设 为抛物线 上一点，焦点为 ，准线方程为 ，依抛物线定义，有 ，当 时， 最小，故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.

例11　如图，抛物线顶点在原点，圆 的圆心是抛物线的焦点，直线 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点，求 的值.

分析：本题考查抛物线的定义，圆的概念和性质，以及分析问题与解决问题的能力，本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.

解：由圆的方程 ，即 可知，圆心为 ，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为 ，设抛物线方程为 ，

∵ 为已知圆的直径，∴ ，则 .

设 、 ，∵ ，而 、 在抛物线上，

由已知可知，直线 方程为 ，于是，由方程组

消去 ，得 ，∴ .

∴ ，因此， .

说明：本题如果分别求 与 则很麻烦，因此把 转化成 是关键所在，在求 时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而避免了一些繁杂的运算.

11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.

(1)求证：|AB|= ;

(2)求|AB|的最小值.

(1)证明：如右图，焦点F的坐标为F( ,0).

设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ•(x- ),与抛物线方程联立，消去y并整理，得

tan2θ•x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.

此方程的两根应为交点A、B的横坐标，根据韦达定理，有x1+x2= .

设A、B到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|，根据抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .

(2)解析：因|AB|= 的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，

所以，当θ= 时，|AB|有最小值2p.

12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证： 为定值，本题若推广到椭圆、双曲线，你能得到什么结论?

解析：(1)当AB⊥x轴时，m=n=p，

∴ = .

(2)当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x- ),

A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,

∴m= +x1,n= +x2.

将AB方程代入抛物线方程，得

k2x2-(k2p+2p)x+ =0,

∴

∴ =

= .

本题若推广到椭圆，则有 = (e是椭圆的离心率);若推广到双曲线，则要求弦AB与双曲线交于同一支，此时，同样有 = (e为双曲线的离心率).

13.如右图，M是抛物线y2=x上的一点，动弦 ME、MF分别交x轴于A、B两点，且?|MA|=|MB|.

(1)若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值;

(2)若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程.

(1)证明：设M(y02,y0)，直线ME的斜率为?k(k>0),则直线MF的斜率为-k，

直线ME的方程为y-y0=k(x-y02).

由 得

ky2-y+y0(1-ky0)=0.

解得y0•yE= ,

∴yE= ,∴xE= .

同理可得yF= ,∴xF= .

∴kEF= (定值).

(2)解析：当∠EMF=90°时，∠MAB=45°，所以k=1，由(1)得E((1-y0)2,(1-y0))F((1+y0)2,-(1+y0)).

设重心G(x,y)，则有

消去参数y0,得y2= (x>0).

14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点M(1,-3)、N(5，1)，若点C满足 =?t +(1-t) (t∈R),点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点.

(1)求证： ⊥ ;

(2)在x轴上是否存在一点P(m,0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，并以该弦为直径的圆都过原点.若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在，请说明理由.

(1)证明：由 =t +(1-t) (t∈R)知点C的轨迹是M、N两点所在的直线，故点C的轨迹方程是：y+3= •(x-1),即y=x-4.

由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.

∴x1x2=16，x1+x2=12，

∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.

∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .

(2)解析：存在点P(4，0)，使得过点P任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点.

由题意知：弦所在的直线的斜率不为零，

故设弦所在的直线方程为：x=ky+4，代入y2=x，得y2-4ky-16=0,

∴y1+y2=4k,y1y2=-16.

kOA•kOB= =-1.

∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.

设弦AB的中点为M(x,y)，

则x= (x1+x2),y= (y1+y2).

x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k•(4k)+8=4k2+8.

∴弦AB的中点M的轨迹方程为： 消去k，得y2=2x-8.

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