宁夏银川二中2011届高三第一次模拟考试-数学（理）
（19）（本小题满分12分）
某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制)(均为整数)分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题.
（Ⅰ）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）从频率分布直方图中，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,70)记0分，在[70,100]记1分，用X表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图，则有
（0.01＋0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1,可得x=0.3,
所以频率分布直方图如图所示.
（Ⅱ）平均分为：
（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，
在[70,100]的有0.6×60=36人，并且X的
可能取值是0，1，2.
所以X的分布列为
 |
(20)（本小题满分12分）
已知m>1，直线
，椭圆C：
，
、
分别为椭圆C的左、右焦点.
，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点.（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程;
时，求直线的方程;（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.解：（Ⅰ）因为直线经过点（
，0），所以＝
，得
.又因为m>1，所以
，故直线的方程为
.
经过点（，0），所以＝，得.又因为m>1，所以，故直线的方程为.（Ⅱ）设
，由
，消去x，得
，
，由，消去x，得，则由
，知
<8,且有
，知<8,且有由题意知O为的中点.由
可知
，
的中点.由可知，从而
，设M是GH的中点，则M（
）.
，设M是GH的中点，则M（）.由题意可知，2|MO|<|GH|, 所以
<
,
<0,
<,<0,而＝（
）（
）
＝
，
＝（）（）＝，所以
<0,即
又因为m>1且
>0,从而1<m<2,
<0,即 又因为m>1且>0,从而1<m<2,故m的取值范围是（1，2）.
（21）（本小题满分12分）
已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.（Ⅰ）求实数
的值；
的值；（Ⅱ）求
在区间
上的最大值；
在区间上的最大值；(Ⅲ)对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由。
，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由。解：（Ⅰ）当
时，
，则
。
时，，则。依题意得：
，即
解得
，即 解得（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①当
时，
，
时，，令
得
得当
变化时，
的变化情况如下表：
变化时，的变化情况如下表：|
|
 |
0
|
 |
 |
 |
 |
—
|
0
|
+
|
0
|
—
|
|
|
单调递减 |
极小值
|
单调递增
|
极大值
|
单调递减 |
又
，
，
。∴在
上的最大值为2.
，，。∴在上的最大值为2.②当
时, 
.当
时, 
,最大值为0；
时, .当时, ,最大值为0；当
时, 在
上单调递增。∴在最大值为
。
时, 在上单调递增。∴在最大值为。综上，当
时，即
时，在区间上的最大值为2；
时，即时，在区间上的最大值为2；当
时，即
时，在区间上的最大值为。
时，即时，在区间上的最大值为。(Ⅲ)假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。
上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。不妨设
，则
，显然
，则，显然∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴
是以O为直角顶点的直角三角形，∴即
（*）
（*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若
，则
代入（*）式得：
，则代入（*）式得：即
，而此方程无解，因此
。此时
，
，而此方程无解，因此。此时，代入（*）式得： 
即
（**）
即 （**）令
，则
，则∴
在
上单调递增， ∵ ∴
,∴
的取值范围是
。
在上单调递增， ∵ ∴,∴的取值范围是。∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角
，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上。
轴上。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
