宁夏银川二中2011届高三第一次模拟考试-数学（理）
（18）（本小题满分12分）
如图，在四面体ABOC中, 
, 且
.
, 且.（Ⅰ）设为
为
的中点，证明：在
上
为的中点，证明：在上存在一点
，使
，并计算
的值；
，使，并计算的值；（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值。
的平面角的余弦值。 解法一：
（Ⅰ）在平面
内作
交于
，连接
。
内作交于，连接。又
， 
， 
，
。取为
的中点，则
。
为的中点，则。
在等腰 
中，
，
在
中， 
， 
中， ， 在
中， 
， 
.
中， ， .（Ⅱ）连接 
，由
，
知：
.
，由，知：.
又
， 
， 又由，
.
，.
是
在平面
内的射影.在等腰
中，为的中点，
中，为的中点，根据三垂线定理，知： 
,
,
为二面角的平面角.在等腰中，
，
中，，在中， 
，
中，
.
中， ，中，.
解法二：（Ⅰ） 取
为坐标原点，分别以
，
所在的直线为
轴，
轴，建立空间直角坐标系
（如图所示）,则 
, 
为中点，
.
为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系（如图所示）,则 , 为中点，.
设 
.
.
即
，
。所以存在点 
使得 且
.
使得 且.（Ⅱ）记平面
的法向量为
,则由
，
，
的法向量为,则由，，且
，得
， 故可取 
，得， 故可取 又平面
的法向量为 
.
.
的法向量为 ..二面角的平面角是锐角，记为
，则
.
的平面角是锐角，记为，则.
