2011届高考数学第一轮课时精练测试题2
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依次为增减增减，∴在(a，b)内只有一个极小值点.
【答案】 A
2.(2008年广东高考)设a∈R，若函数y=ex+ax，x∈R有大于零的极值点，则( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a>- D.a<-
【解析】 ∵y=ex+ax，∴y′=ex+a.
又∵函数y=ex+ax有大于零的极值点，即方程y′=ex+a=0有大于零的解，即a=-ex(x>0).
∵x>0时，-ex<-1，∴a<-1.
【答案】 A
3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3，那么此函数在[-2,2]上的最小值是( )
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不对
【解析】 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，
∵f(x)在(-2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，
∴当x=0时，f(x)=m最大，
∴m=3，从而f(-2)=-37，f(2)=-5.
∴最小值为-37.
【答案】 A
4.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-∞，-1) D.(1，+∞)
【解析】∵f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，
且当x<-1时，f′(x)>0;
当-1
当x>1时，f′(x)>0，
∴当x=-1时f(x)有极大值.
当x=1时，
f(x)有极小值，要使f(x)有3个不同的零点.
只需，解得-2
【答案】 A
5.设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，则当a
A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
【解析】 令y=f(x)·g(x)，
则y′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x)，
由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0，
所以y在R上单调递减，
又xf(b)g(b)，
【答案】 C
6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x)，且当x∈(-，)时，f(x)=x+sinx，则( )
A.f(1)
C.f(3)
【解析】由f(x)=f(π-x)，得函数f(x)的图象关于直线
x=对称，又当x∈(-，)时，
f′(x)=1+cos x>0恒成立，
所以f(x)在(-，)上为增函数，
f(2)=f(π-2)，f(3)=f(π-3)，
且0<π-3<1<π-2<，
所以f(π-3)
【答案】 D
二、填空题(每小题6分，共18分)
7.函数y=x2ex的单调递增区间为________.
【解析】 ∵y=x2ex，∴y′=2xex+x2ex=exx(2+x)≥0.
解得x≥0或x≤-2.
∴y=x2ex的递增区间为(-∞，-2]和[0，+∞).
【答案】 (-∞，-2]和[0，+∞)
8.给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0，)上不是凸函数的是________.(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)=sin x+cos x;
②f(x)=ln x-2x;
③f(x)=-x3+2x-1;
④f(x)=xex.
【解析】 对于①，f″(x)=-(sin x+cos x)，x∈(0，)时，
f″(x)<0恒成立;
对于②，f″(x)=-，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立;
对于③，f″(x)=-6x，在x∈(0，)时，f″(x)<0恒成立;
对于④，f″(x)=(2+x)·ex在x∈(0，)时f″(x)>0恒成立，
所以f(x)=xex不是凸函数.
【答案】 ④
9.将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________.
【解析】 设剪成2段中其中一段为x cm，另一段为(52-x) cm，依题意知：
S=·+·
=x2+(52-x)2，
S′=x-(52-x)，
令S′=0，则x=27.
另一段为52-27=25.
此时Smin=78.
【答案】 78
三、解答题(10,11每题15分，12题16分，共46分)
10.(2010年福州模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P=v4-v3+15v，
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
【解析】 (1)Q=P·=(v4-v3+15v)·
=(v3-v2+15)·400
=-v2+6 000(0
(2)Q′=-5v，
令Q′=0，则v=0(舍去)或v=80，
当0
当800.
∴v=80时，全程运输成本取得极小值，即最小值.
从而Qmin=Q(80)=元.
11.(2010年济南模拟)设函数y=f(x)在(a，b)上的导数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”，若函数f(x)=x4-mx3-x2为区间(-1,3)上的“凸函数”，试确定实数m的值.
【解析】 由函数f(x)=x4-mx3-x2得，
f′(x)=x3-mx2-3x，
f″(x)=x2-mx-3.
若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”，则有f″(x)=x2-mx-3<0在区间(-1,3)上恒成立，由二次函数的图象知，当且仅当
，
即，得m=2.
12.(2010天津高考，20)已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值.
【解析】 (1)当a=0时，f(x)=x2ex，
f′(x)=(x2+2x)ex，故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0，解得x=-2a，或x=a-2.
由a≠知，-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论.
①若a>，则-2a
f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
|
x
|
(－∞，－2a)
|
－2a
|
(－2a，a－2)
|
a－2
|
(a－2，＋∞)
|
|
f′(x)
|
＋
|
0
|
－
|
0
|
＋
|
|
f(x)
|
|
极大值
|
|
极小值
|
|
所以f(x)在(-∞，-2a)，(a-2，+∞)内是增函数，
在(-2a，a-2)内是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<，则-2a>a-2，当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
|
x
|
(－∞，a－2)
|
a－2
|
(a－2，－2a)
|
－2a
|
(－2a，＋∞)
|
|
f′(x)
|
＋
|
0
|
－
|
0
|
＋
|
|
f(x)
|
|
极大值
|
|
极小值
|
|
所以f(x)在(-∞，a-2)，(-2a，+∞)内是增函数，
在(a-2，-2a)内是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，
且f(-2a)=3ae-2a.
