2011届高考数学第一轮课时精练测试题2

2011-03-24 10:18:21   字体放大:  
 
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为(  )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】从f′(x)的图象可知f(x)在(a,b)内从左到右的单调性依次为增减增减,∴在(a,b)内只有一个极小值点.
【答案】 A
2.(2008年广东高考)设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则(  )
A.a<-1 B.a>-1
C.a>- D.a<-
【解析】 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.
又∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,即方程y′=ex+a=0有大于零的解,即a=-ex(x>0).
∵x>0时,-ex<-1,∴a<-1.
【答案】 A
3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是(  )
A.-37 B.-29
C.-5 D.以上都不对
【解析】 ∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),
∵f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,
∴当x=0时,f(x)=m最大,
∴m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5.
∴最小值为-37.
【答案】 A
4.若函数f(x)=x3-3x+a有3个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )
A.(-2,2) B.[-2,2]
C.(-∞,-1) D.(1,+∞)
【解析】∵f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),
且当x<-1时,f′(x)>0;
当-1

当x>1时,f′(x)>0,

∴当x=-1时f(x)有极大值.
当x=1时,
f(x)有极小值,要使f(x)有3个不同的零点.
只需,解得-2

【答案】 A

5.设f(x)、g(x)是R上的可导函数,f′(x),g′(x)分别为f(x)、g(x)的导函数,且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当a

A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x)

C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
【解析】 令y=f(x)·g(x),
则y′=f′(x)·g(x)+f(x)·g′(x),
由于f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,
所以y在R上单调递减,
又xf(b)g(b),
【答案】 C
6.已知函数f(x)满足f(x)=f(π-x),且当x∈(-,)时,f(x)=x+sinx,则(  )
A.f(1)

C.f(3)

【解析】由f(x)=f(π-x),得函数f(x)的图象关于直线

x=对称,又当x∈(-,)时,
f′(x)=1+cos x>0恒成立,
所以f(x)在(-,)上为增函数,
f(2)=f(π-2),f(3)=f(π-3),
且0<π-3<1<π-2<,
所以f(π-3)

【答案】 D

二、填空题(每小题6分,共18分)
7.函数y=x2ex的单调递增区间为________.
【解析】 ∵y=x2ex,∴y′=2xex+x2ex=exx(2+x)≥0.
解得x≥0或x≤-2.
∴y=x2ex的递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).
【答案】 (-∞,-2]和[0,+∞)
8.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,)上不是凸函数的是________.(把你认为正确的序号都填上)
①f(x)=sin x+cos x;
②f(x)=ln x-2x;
③f(x)=-x3+2x-1;
④f(x)=xex.
【解析】 对于①,f″(x)=-(sin x+cos x),x∈(0,)时,
f″(x)<0恒成立;
对于②,f″(x)=-,在x∈(0,)时,f″(x)<0恒成立;
对于③,f″(x)=-6x,在x∈(0,)时,f″(x)<0恒成立;
对于④,f″(x)=(2+x)·ex在x∈(0,)时f″(x)>0恒成立,
所以f(x)=xex不是凸函数.
【答案】 ④
9.将长为52 cm的铁丝剪成2段,各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形,那么面积之和的最小值为________.
【解析】 设剪成2段中其中一段为x cm,另一段为(52-x) cm,依题意知:
S=·+·
=x2+(52-x)2,
S′=x-(52-x),
令S′=0,则x=27.
另一段为52-27=25.
此时Smin=78.
【答案】 78
三、解答题(10,11每题15分,12题16分,共46分)
10.(2010年福州模拟)甲乙两地相距400千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过100千米/小时,已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是P=v4-v3+15v,
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式;
(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶?并求此时运输成本的最小值.
【解析】 (1)Q=P·=(v4-v3+15v)·
=(v3-v2+15)·400
=-v2+6 000(0

(2)Q′=-5v,

令Q′=0,则v=0(舍去)或v=80,
当0

当800.

∴v=80时,全程运输成本取得极小值,即最小值.
从而Qmin=Q(80)=元.
11.(2010年济南模拟)设函数y=f(x)在(a,b)上的导数为f′(x),f′(x)在(a,b)上的导数为f″(x),若在(a,b)上,f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”,若函数f(x)=x4-mx3-x2为区间(-1,3)上的“凸函数”,试确定实数m的值.
【解析】 由函数f(x)=x4-mx3-x2得,
f′(x)=x3-mx2-3x,
f″(x)=x2-mx-3.
若f(x)为区间(-1,3)上的“凸函数”,则有f″(x)=x2-mx-3<0在区间(-1,3)上恒成立,由二次函数的图象知,当且仅当
即,得m=2.
12.(2010天津高考,20)已知函数f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中a∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;
(2)当a≠时,求函数f(x)的单调区间与极值.
【解析】 (1)当a=0时,f(x)=x2ex,
f′(x)=(x2+2x)ex,故f′(1)=3e.
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)f′(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a]ex.
令f′(x)=0,解得x=-2a,或x=a-2.
由a≠知,-2a≠a-2.
以下分两种情况讨论.
①若a>,则-2a

f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x
(-∞,-2a)
-2a
(-2aa-2)
a-2
(a-2,+∞)
f′(x)
0
0
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)内是增函数,
在(-2a,a-2)内是减函数.
函数f(x)在x=-2a处取得极大值f(-2a),且f(-2a)=3ae-2a.
函数f(x)在x=a-2处取得极小值f(a-2),且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
②若a<,则-2a>a-2,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,a-2)
a-2
(a-2,-2a)
-2a
(-2a,+∞)
f′(x)
0
0
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)内是增函数,
在(a-2,-2a)内是减函数.
函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2),
且f(a-2)=(4-3a)ea-2.
函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a),
且f(-2a)=3ae-2a.

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