2011届高考数学点拨复习检测试题2

二分法的应用——你了解多少

 

函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。

一、求方程的近似解

例1.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确到0.1).

证明: 设函数使f(x)=2x+3x-6.∵f(l)=-1<0,f(2)=4>0,又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)=2x+3x-6在区间[1,2]有唯一的零点，则方程6-3x=2x在区间[1,2]有唯一一个实数解.

设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1=1.5，f(1.5)=0.33>0，. F(1)·f(1.5)<0，∴ x0 ∈(1,1.5).

取x2=1.25，f(1.15)=0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25).

取x3=1.125，f(1.125)=-0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25).

取x4=1.187 5,f(1.187 5)=-0.16<0，f (1.187 5)·f(1.25)<0，∴.x0∈(1.187 5,1,25).

∵|1.25-1.87 5|=0.062 5<0.1，∴可取x0=1.2，则方程的实数解为x0=1.2.

点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器.

二、判断方程解的个数

例2.已知函数f (x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点.

分析:不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)=0至多有一个实根，考虑用反证法证明.

证明: 假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1,x2，且不妨设x1

由题意得f(x1)=O,f(x2)=0, ∴f(x1)=f(x2) ①

∵f(x)在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，

由x1

因此①②矛盾，假设不成立，故f(x)=0至多有一个零点.

三、求一定条件下的函数的零点

例3.求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点(精确到0.1)

分析：用二分法，要注意到初始区间的选取。

解：由于f(1)=-2<0,f(2)=6>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间。

用二分法逐次计算，列表如下：

由上表的计算可知，区间[1.375,1.438]的长度小于0.1，所以这个区间的中点x5≈1.4可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.函数f(x)=x3+x2-2x-2的图象如图.实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值.

点评：给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点的近似值应该按课本P105的四个步骤进行.

四、确定函数零点的个数

例4.二次函数y=ax2+bx+c中,ac<0，则函数零点个数为 .

分析: ∵c=f(0),∴ac=a f(0)<0, ∴a与f(0)异号.即 或 .∴函数必有两零点.或∵ac<0∴△=b2-4ac>0,∴函数有两个零点. 答案:2.

点评：用二分法求方程近似解，关键是判断近似解所在的区间(a,b)，用二分法选定初始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过试验确定端点。

五、求一些无理数的值

二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它还有很多应用，例如求一些无理数的值，解决实际问题等.

例5. 求 的近似值.(精确到0.01)

分析：若设x= ，则x3-2=0，因此 的近似值就是方程x3-2=0的根的近似值，也就是函数y=x3-2的近似零点.

解：设x= ，则x3-2=0,令f(x)=x3-2,则函数f(x)的零点的近似值就是 的近似值，以下用二分法求其零点的近似值.

由于f(1)=-1<0,f(2) =6>0,故可以取区间[1,2]为计算的初始区间.

用二分法逐步计算，列表如下：

区间[1.257 812 5，1.265 625]的长度1.265 625-1.257 812 5=0. 007 81<0. 01，所以这个区间的两个端点的近似值都可以作为函数f(x)零点的近似值是1.26,即 的近似值是1.26.

六、解决实际应用问题

二分法不仅仅用于求函数零点或方程的根，它在现实生活中也有许多重要的应用.

例5.在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在?

如果沿着线路一闸门(待查)指挥部一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢.

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?

如图，他首先从中点C查.用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50~100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次?

解: 用简便易行的方法最多测试7次就能找到故障，方法是：

10km线路共有200根电杆.

第一次测试第100根，

第二次测试有故障的一侧中的第50根，

第三次再测有故障的一侧中的第25根，

去掉一根，(有可能故障在这里)

再侧有故障的一段中的第12根，

第五次测有故障一段中的第6根，

第六次侧试有故障段中的第三根

第七次侧故障段中的中间一根，至此，结束侧试，故最多7次就能找到故障.

点评: 数学来源于生活,这是现实生活中的二分法间题.这种检查线路故障的方法，就是二分法的应用，二分法不仅可用于查找电线线路、水管、气管故障，还能用于实验设计、资料查询等.