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本文题目：高二语文教案：空间角的求法教案

一.梳理知识：

空间角的思路：

求空间各种角的大小一般都转化为平面的角来计算，总是先定其位，后算其值。

空间角的计算步骤：一作，二证，三算。

1.两条异面直线所成的角

(1)定义：直线a，b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a'||a，b'||b，我们把直线a'，b'所成的锐角或直角叫做两条异面直线a，b所成的角。

(2)范围：0O < q £ 90O。

(3)作法(平移法)：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线。

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面内的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和平面所成的角。

规定：①一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角;

②一条直线与平面平行或在平面内，则它们所成的角是0O角。

(2)范围：0O £q £ 90O。

(3)作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影。

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。

二面角的大小用它的平面角来度量。

(2)平面角的作法：

常见方法有：①定义法;②三垂线定理及其逆定理法;③垂面法。其中以三垂线定理及其逆定理法为最基本最常用。

(3)二面角的计算，也可以考虑利用射影面积公式S射=S·cosq来求。

二.典例分析

例1：(1993全国文科)在正方体A1B1C1D­1-ABCD中，M、N分别为棱A1A和B1B的中点，若q为直线CM与D1N所成的角，则sinq=( )

例2：(96上海卷)在二面角a-l-b中，A、BÎa，C、DÎl，ABCD为矩形，PÎb，且PA^AD，M、N依次是AB、PC的中点。

(1)求二面角a-l-b的大小;

(2)求证：MN^AB

(3)求异面直线PA与MN所成角的大小。

例3：空间四边形ABCD中，DACD和DBCD所在的两平面互相垂直，且AD=CD=BD，ÐCDA=ÐBDC=120O，求：

(1)AB和平面BCD所成的角;

(2)直线AB和CD所成的角。

[巩固练习]

1、若平面外一条直线和这个平面所成角是θ，则θ的取值范围是 ( )

(A)0°<θ<180° (B)0°<θ<90°(C)0°<θ≤90 (D)0°≤θ≤90°

2、线段AB的长为2,(A∈α)它在平面α内的射影长为1,则线段AB所在直线与平面α所成的角是 ( ) (A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

3、从平面α外一点P向α引两条斜线PA、PB,A、B为斜足,它们与α所成的角的差是45°,它们在平面α内的射影长分别是2cm和12cm,则P到平面α的距离为 ( )

(A)4cm (B)4cm或6cm (C)3cm (D)3cm或4cm

4、一条线段的两个端点分别在一个直二面角的两个面内，则这条线段与这两平面所成角的和一定 ( )(A)等于90° (B)大于90° (C)不大于90° (D)不小于90°

5、在直二面角的棱上取一点P，过P分别在两个面内作与棱成45o角的射线，则这两条射线所成的角为 ( )(A)45o (B)60o (C)120o (D)60o或120o

6、若a∩b= ，AÎa，BÎb，AB^ ，AB分别与a、b成500、300角，则二面角a- -b为 ( )

(A)200 (B)1000 (C)200或1000 (D)800或1000

7、在直二面角a-PQ-b中，RtDABC在a内，斜边AB在PQ上，若AC与b成300角，则BC与b所成的角为 ( )

(A)300 (B)450 (C)600 (D)其它结论

8、有一山坡，倾斜度为300，若在斜坡平面上沿着一条与斜坡底线成450角的直线前进1公里，则升高了 ( )

(A)250 米 (B)250 米 (C)250 米 (D)500米

9、长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC= 4，AA1=2，E，H分别是A1B1和BB1的中点，求：(1)EH和AD1所成角的余弦;(2)A1D1与B1C之间的距离;(3)AC1与B1C所成的角的余弦(提示：用补形法)。

10、在120°的二面角α-l-β在面α，β内分别有A，B两点，且A，B到棱l的距离AC，BD分别是2，4，AB=10，求：

(1)直线AB与棱l所成角的正弦值;

(2)直线AB与面β所成角的正弦值。

课题：空间的距离

一、表解重点

空间距离的几种形式基本求法

空间两点间的距离求线段长，解三角形

点到直线的距离

**点到平面的距离1、作出垂线段，证明，计算

2、利用等积转换(面积或体积)

*异面直线之间的距离找出公垂线，证明，计算

*平行的线面间距离

两平行平面间距离转化为点到平面的距离

二、范例分析

例1、选择题：① 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则棱A1B1所在直线与面对角线BC1所在直线间的距离是 ( )

(A) (B)a (C) (D) ② 从平面 外一点引平面垂线PO和斜线PA,PB,已知PA=8,PB=5且OA：OB=4： ,那么点P到平面 的距离是 ( )

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

③ 线段AB的两端到平面 的距离分别是3cm和7cm,则它的中点到 的距离为 ( )

(A)5cm (B)2cm (C)5cm或2cm (D)以上答案均不对

④ 平行四边形ABCD的四个顶点在平面 的同一侧,A、B、C到 的距离分别为2、3、7,则顶点D到 的距离为 ( )

(A)5 (B)6 (C)8 (D)9

⑤ PA⊥△ABC所在平面,若AB=AC=13,BC=10,PA=12,则P到BC的距离为( )

(A)12 (B)12 (C)13 (D)13 ⑥ 正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点A1到平面AD1B1的距离是( )

(A) (B) (C) (D) 例2：把长、宽各为4，3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。

例3：RtΔABC所在平面外一点P到直角顶点C的距离为24cm，到两直角边的距离为 cm，求点P到平面ABC的距离。

例4(93年上海卷)已知二面角α-PQ-β为600。点A和B分别在平面α和平面β内，点C在棱PQ上，∠ACP=∠BCP=300，求点B与平面α的距离。

三、课后练习

1、点M是线段AB的中点,若A、B到平面 的距离分别为4cm和6cm,则点M到平面 的距离为________.

2、一条线段AB的两端点到平面 的距离分别是30cm和50cm,P为AB上一点,且AP：PB=3：7,则P到平面 的距离为 ( )

(A)36cm (B)6cm (C)36cm或6cm (D)14cm或24cm

3、等腰Rt△ABC在平面M内, 点P在平面M外,P到Rt△ABC的三个顶点的距离都是4，斜边AC的长为4，则点P到平面M的距离为________.

4、已知长方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为AB= ,BC=BB1=1,则

(1)D1B长为 ; (2)AB与D1C1间距离为 ;

(3)A点到平面A1B1CD的距离为 ; (4)BC到平面AB1C1D的距离为 ;

(5)A点到直线B1C的距离为 ; (6)AA1与BC间距离为 .

5、矩形ABCD，AB=4，AD=3。PA⊥平面ABCD，且PA=1，那么P到BD的距离为 _______。

6、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1到B1C的距离为________，A到A1C的距离为________。

7、在菱形ABCD中，已知∠BAD=60°，AB=10cm，PA⊥菱形ABCD所在平面，且PA=5cm，则P到BD的距离为_______，P到DC的距离为________。

8、矩形ABCD中，AB=a，AD=b(a>b)，沿对角线AC将△ADC折起，使AD与BC垂直，求异面直线AD与BC间的距离。

9、若线段AB和平面α成30°角，A，B与平面α的距离分别是6cm和10cm，求AB的长。

10、如图,ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,GC=2,求点O到平面EFG的距离.

课题：平面图形的翻折

一.梳理知识

平面图形翻折成空间图形，要正确作图(原来的平面图形和翻折后的空间图形)，要正确分析翻折前后点、线、面的相互位置关系及变化，再综合我们前面所学的知识解决、证明有关问题。具体地说，将平面图形按某种要求翻折成空间图形时，原来平面图形中位于同一半平面内的元素的相对位置关系保持不变，特别是垂直于二面角的棱(折痕)的直线翻折后仍然垂直于棱，而分别位于两个半平面的一些点、线的位置关系将发生变化，要学会仔细地观察和分析。

二.课前预习题

1.以等腰RtΔABC的斜边BC上的高AD为折痕，将ΔABC折成二面角C-AD-B，当二面角为多大时，折后的ΔABC为正三角形( )

A、30O B、45O C、60O D、90O

2.菱形ABCD的边长为 a，∠A=600，如果沿对角线BD将菱形折成600的二面角，则折叠后A、C两点之间的距离为 ( )

(A) (B) (C) (D) 3.等腰ΔABC的底 ，高AD=1，现沿AD将ΔABD折起，使二面角B-AD-C为60°，求此时AB与面ACD所成角的正弦值。

三.典例分析

[例1] 以等腰RtΔABC的斜边AB上的高CD为棱折成一个60O的二面角，使B到B1的位置，已知斜边AB=2，求：

(1)顶点C到平面AB1D的距离;

(2)顶点A到平面CB1D的距离;

(3)AC和平面CB1D所成的角;

(4)CD和AB1之间的距离。

[例2]已知D，E分别是边长为a的等边ΔABC边AB，AC上的点，DE∥BC。现沿DE将ΔADE折起，使二面角A-DE-B成60°角。当DE在什么位置时，使折起后的顶点A到BC边的距离最短?最短距离是多少?

三.课堂练习

1.正方形ABCD，AB、CD的中点分别为E、F，BD、EF相交于O，以EF为棱将正方形ABCD折成直二面角时，∠BOD等于 ( )

(A)900 (B)1200 (C)1350 (D)1500

2.把长,宽各为4,3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角.求顶点B和D的距离。

四.课堂小结：

平面图形的翻折是一类常见问题，解这类问题要注意对翻折前后的线线、线面位置关系、所成角及距离加以比较，一般来说，位于棱的两侧的同一半平面内的元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生变化，分别位于两半平面内的元素其相对位置关系和数量关系则发生变化，不变量可结合原图型来求证;变化了的量应在折后的立体图形中来求证。对某些翻折后不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题。

五.课后巩固练习

1、如图，正方形ABC1C2，E，F分别为C2C1和AB的中点，沿AE，BE向上翻折，使C1，C2重合于C，形成一个三棱锥C—ABE，则 ( )

(A)EF^平面ABC (B)EC^平面ABC

(C)CE^平面ABE (D)CF^平面ABE

2.E、F分别是正三角形ABC边AB、AC的中点，以EF为棱折成直二面角

A-EF-BC，这时设∠ABC=a，下面结论成立的是( )

(A)a=450 (B)a=600

(C)tga= (D)tga= 3.矩形ABCD中,已知AB= AD,E是AD中点,沿BE将 ABE折起到 A′BE位置,使A′C=A′D,则A′C与平面BEDC所成角的正切值为 ( )

(A) (B) (C) (D) 4.矩形ABCD(AB≤BC)中，AC=2 ，沿对角线AC把它折成直二面角

B-AC-D后，BD= ，求AB、BC的长。

5.等腰RtΔABC和RtΔDBC有公共边BC，∠BAC=∠BCD=90O，∠BDC=60O，以BC为棱折成多少度的二面角时，有AD=CD?

*6.在平面四边形ABCD中，已知AB=BC=CD=a，∠ABC=90°，∠BCD=135O，沿AC将四边形折成直二面角B-AC-D.

(1)求证：AB⊥平面BCD;(2)求平面ABD与平面ACD所成的角。

*7.E，F分别是正方形ABCD的边AB，CD的中点，以EF为棱，将正方形所在平面折成120°的二面角，G是棱EF上一点，且满足∠AGF=∠AGB，求：(1)AG和平面BCFE所成角的正弦值;(2)二面角A-BG-E的大小。

*8.正方形ABCD的边长为7，点M、N分别在AD，BC上，MN∥AB，DM=3，对角线AC交MN于点E，现将正方形沿MN折成直二面角，求：

(1)AC与MN所成角的正切值;

(2)AC与平面MNCD所成角的正切值。

课题:正四面体和长方体的性质

一、正四面体A-BCD的棱长为a.

1) 求对棱AB和CD的距离与夹角;

2) 求侧棱AB与底面BCD的夹角;

3) 求相邻两侧面ABC与ACD所成二面角的大小;

4) E、F分别是BC和AD的中点,求DE和BF所成的角;

5) 求侧棱AB与侧面ACD所成的角;

6) E、F分别是BC和AD的中点,求CF与底面BCD所成的角;

7) 求S全及V;

8) 求证:平行一组对棱的截面是一个矩形,并且它的周长是一个定值;并求其面积的最大值;

9) 求证:正四面体内任一点到各面的距离之和为一常数;

10) 正四面体各面中心为顶点的四面体的体积是原正四面体体积的几分之几?

11) 求正四面体外接球半径;

12) 求正四面体内切球半径.

A

B D

C

A

B D

C

A

B D

C

二、①长方体共顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，全面积是88cm2，则三条棱的棱长分别是_______________________。

② 对角线长为10cm，若过一个顶点的两个面与对角线分别成30 、45 的角，则长方体体积为______。

③长方体的三条棱长为a、b、c，且2b=a+c，若其对角线长为 ，全面积为22，则a+b+c=_______;体积=_______。

④长方体共顶点的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则以这个顶点的三条棱组成的三棱锥的体积为______。

⑤长方体的一条对角线与一个面成30°角，与另一个面成45°角，则这条对角线分别和三条棱所成的角为_____________________________。

⑤长方体的一条对角线和同一个顶点上的三条棱中的两条所成的角为60°、45°，则它和另一条棱所成的角为__________________。

⑥若长方体的对角线长为8，其长、宽、高之和为14，则其全面积为_____。

⑦对角线长为6cm的长方体，其一条对角线与从该对角线一顶点出发的两侧棱分别成45 和60 角，则其体积为_____。

⑧ 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= ，AD=AA1=1，M为棱AB的中点，则D1M与底面ABCD所成的角的正切是________。

⑨已知长方体交于一个顶点的三个面的面积分别为 ， ， ，则这个长方体的体积等于________。

(10)有一长方体的容器ABCD—A1B1C1D1,AA1=7cm,AB=5cm,AD=4cm,在棱AA1上有一小孔P,AP=2cm,在棱DD1上有一小孔Q,DQ=1cm,在棱AB上有一小孔R,AR=3cm.若改变容器的放置位置,则这容器最多还可盛水____cm3.

(11)长方体的一条体对角线与相交于同一个顶点的三个面所成的角分别为 、 、 ,则cos2 +cos2 +cos2 =________.

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