数学余弦定理练习题高二1.在△ABC中，已知a=4，b=6，C=120°，则边c的值是(　　)

A.8　　　　　　　　　 B.217

C.62   D.219

解析：选D.根据余弦定理，c2=a2+b2-2abcos C=16+36-2×4×6cos 120°=76，c=219.

2.在△ABC中，已知a=2，b=3，C=120°，则sin A的值为(　　)

A.5719   B.217

C.338   D.-5719

解析：选A.c2=a2+b2-2abcos C

=22+32-2×2×3×cos 120°=19.

∴c=19.

由asin A=csin C得sin A=5719.

3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________.

解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2+4a2-a22•2a•2a=78.

答案：78

4.在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，试判断△ABC的形状.

解：法一：根据余弦定理得

b2=a2+c2-2accos B.

∵B=60°，2b=a+c，

∴(a+c2)2=a2+c2-2accos 60°，

整理得(a-c)2=0，∴a=c.

∴△ABC是正三角形.

法二：根据正弦定理，

2b=a+c可转化为2sin B=sin A+sin C.

又∵B=60°，∴A+C=120°，

∴C=120°-A，

∴2sin 60°=sin A+sin(120°-A)，

整理得sin(A+30°)=1，

∴A=60°，C=60°.

∴△ABC是正三角形.

课时训练

一、选择题

1.在△ABC中，符合余弦定理的是(　　)

A.c2=a2+b2-2abcos C

B.c2=a2-b2-2bccos A

C.b2=a2-c2-2bccos A

D.cos C=a2+b2+c22ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题.

2.(2011年合肥检测)在△ABC中，若a=10，b=24，c=26，则最大角的余弦值是(　　)

A.1213　　　　　　　　 B.513

C.0   D.23

解析：选C.∵c>b>a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=0.

3.已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是(　　)

A.锐角三角形   B.钝角三角形

C.直角三角形   D.不能确定

解析：选B.∵42=16>22+32=13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形.

4.在△ABC中，已知a2=b2+bc+c2，则角A为(　　)

A.π3   B.π6

C.2π3   D.π3或2π3

解析：选C.由已知得b2+c2-a2=-bc，

∴cos A=b2+c2-a22bc=-12，

又∵0

5.在△ABC中，下列关系式

①asin B=bsin A

②a=bcos C+ccos B

③a2+b2-c2=2abcos C

④b=csin A+asin C

一定成立的有(　　)

A.1个   B.2个

C.3个   D.4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立.对于②由正弦定理知sin A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)，显然成立.对于④由正弦定理sin B=sin Csin A+sin Asin C=2sin Asin C，则不一定成立.

6.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a，则cos B等于(　　)

A.14   B.34

C.24   D.23

解析：选B.∵b2=ac，c=2a，

∴b2=2a2，

∴cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a•2a

=34.

二、填空题

7.在△ABC中，若A=120°，AB=5，BC=7，则AC=________.

解析：由余弦定理，

得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosA，

即49=25+AC2-2×5×AC×(-12)，

AC2+5AC-24=0.

∴AC=3或AC=-8(舍去).

答案：3

8.已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2+3x-2=0的根，则第三边长是________.

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42+52-2×4×5×12=21，∴第三边长是21.

答案：21

9.在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8，则B的大小是________.

解析：由正弦定理，

得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8.

不妨设a=5k，b=7k，c=8k，

则cos B=5k2+8k2-7k22×5k×8k=12，

∴B=π3.

答案：π3

三、解答题

10.已知在△ABC中，cos A=35，a=4，b=3，求角C.

解：A为b，c的夹角，

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A，

∴16=9+c2-6×35c，

整理得5c2-18c-35=0.

解得c=5或c=-75(舍).

由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=16+9-252×4×3=0，

∵0°

11.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B，求C的大小.

解：由题意可知，

(a+b+c)(a+b-c)=3ab，

于是有a2+2ab+b2-c2=3ab，

即a2+b2-c22ab=12，

所以cos C=12，所以C=60°.

12.在△ABC中，b=asin C，c=acos B，试判断△ABC的形状.

解：由余弦定理知cos B=a2+c2-b22ac，代入c=acos B，

得c=a•a2+c2-b22ac，∴c2+b2=a2，

∴△ABC是以A为直角的直角三角形.

又∵b=asin C，∴b=a•ca，∴b=c，

∴△ABC也是等腰三角形.

综上所述，△ABC是等腰直角三角形.

余弦定理练习题

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