2014高二数学正弦定理测试题

1.在△ABC中，A=60°，a=43，b=42，则(　　)

A.B=45°或135°　　　　　　　 B.B=135°

C.B=45°   D.以上答案都不对

解析：选C.sin B=22，∵a>b，∴B=45°.

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=6，B=120°，则a等于(　　)

A.6   B.2

C.3   D.2

解析：选D.由正弦定理6sin 120°=2sin C⇒sin C=12，

于是C=30°⇒A=30°⇒a=c=2.

高二数学正弦定理测试题3.在△ABC中，若tan A=13，C=150°，BC=1，则AB=__________.

解析：在△ABC中，若tan A=13，C=150°，

∴A为锐角，sin A=110，BC=1，

则根据正弦定理知AB=BC•sin Csin A=102.

答案：102

4.已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，交对边BC于D，求证：BDDC=ABAC.

证明：如图所示，设∠ADB=θ，

则∠ADC=π-θ.

在△ABD中，由正弦定理得：

BDsin A2=ABsin θ，即BDAB=sinA2sin θ;①

在△ACD中，CDsin A2=ACsinπ-θ，

∴CDAC=sinA2sin θ.②

由①②得BDAB=CDAC，

∴BDDC=ABAC.

一、选择题

1.在△ABC中，a=5，b=3，C=120°，则sin A∶sin B的值是(　　)

A.53   B.35

C.37   D.57

解析：选A.根据正弦定理得sin Asin B=ab=53.

2.在△ABC中，若sin Aa=cos Cc，则C的值为(　　)

A.30°   B.45°

C.60°   D.90°

解析：选B.∵sin Aa=cos Cc，∴sin Acos C=ac，

又由正弦定理ac=sin Asin C.

∴cos C=sin C，即C=45°，故选B.

3.(2010年高考湖北卷)在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cos B=(　　)

A.-223   B.223

C.-63   D.63

解析：选D.由正弦定理得15sin 60°=10sin B，

∴sin B=10•sin 60°15=10×3215=33.

∵a>b，A=60°，∴B为锐角.

∴cos B=1-sin2B=1-332=63.

4.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是(　　)

A.锐角三角形   B.直角三角形

C.钝角三角形   D.等腰三角形

解析：选B.由题意有asin A=b=bsin B，则sin B=1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.

5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=π3，a=3，b=1，则c=(　　)

A.1   B.2

C.3-1   D.3

解析：选B.由正弦定理asin A=bsin B，可得3sinπ3=1sin B，

∴sin B=12，故B=30°或150°.

由a>b，得A>B，∴B=30°.

故C=90°，由勾股定理得c=2.

6.(2011年天津质检)在△ABC中，如果A=60°，c=4，a=4，则此三角形有(　　)

A.两解  B.一解

C.无解  D.无穷多解

解析：选B.因csin A=23<4，且a=c，故有唯一解.

二、填空题

7.在△ABC中，已知BC=5，sin C=2sin A，则AB=________.

解析：AB=sin Csin ABC=2BC=25.

答案：25

8.在△ABC中，B=30°，C=120°，则a∶b∶c=________.

解析：A=180°-30°-120°=30°，

由正弦定理得：

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶1∶3.

答案：1∶1∶3

9.(2010年高考北京卷)在△ABC中，若b=1，c=3，∠C=2π3，则a=________.

解析：由正弦定理，有3sin2π3=1sin B，

∴sin B=12.∵∠C为钝角，

∴∠B必为锐角，∴∠B=π6，

∴∠A=π6.

∴a=b=1.

答案：1

三、解答题

10.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6，且a+b+c=30，求a.

解：∵sin A∶sin B∶sin C=a2R∶b2R∶c2R=a∶b∶c，

∴a∶b∶c=4∶5∶6.∴a=30×415=8.

11.在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c.已知a=5，b=2，B=120°，解此三角形.

解：法一：根据正弦定理asin A=bsin B，得sin A=asin Bb=5×322=534>1.所以A不存在，即此三角形无解.

法二：因为a=5，b=2，B=120°，所以A>B=120°.所以A+B>240°，这与A+B+C=180°矛盾.所以此三角形无解.

法三：因为a=5，b=2，B=120°，所以asin B=5sin 120°=532，所以basin B，所以此三角形无解.

12.在△ABC中，acos(π2-A)=bcos(π2-B)，判断△ABC的形状.

解：法一：∵acos(π2-A)=bcos(π2-B)，

∴asin A=bsin B.由正弦定理可得：a•a2R=b•b2R，

∴a2=b2，∴a=b，∴△ABC为等腰三角形.

法二：∵acos(π2-A)=bcos(π2-B)，

∴asin A=bsin B.由正弦定理可得：

2Rsin2A=2Rsin2B，即sin A=sin B，

∴A=B.(A+B=π不合题意舍去)

故△ABC为等腰三角形.

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