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高二数学专项练习：基本不等式训练题

1．若xy＞0，则对 xy＋yx说法正确的是()

A．有最大值－2 B．有最小值2

C．无最大值和最小值 D．无法确定

答案：B

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()

A．400 B．100

C．40 D．20

答案：A

3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋4x有最小值____．

答案：24

4．已知f(x)＝12x＋4x.

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；

(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

解：(1)∵x＞0，∴12x，4x＞0.

∴12x＋4x≥212x?4x＝83.

当且仅当12x＝4x，即x＝3时取最小值83，

∴当x＞0时，f(x)的最小值为83.

(2)∵x＜0，∴－x＞0.

则－f(x)＝12－x＋(－4x)≥212－x??－4x?＝83，

当且仅当12－x＝－4x时，即x＝－3时取等号．

∴当x＜0时，f(x)的最大值为－83.

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

A．x＋12x B．x2－1＋1x2－1

C．2x＋2－x D．x(1－x)

答案：C

2．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是()

A．32－3 B．－3

C．62 D．62－3

解析：选D.y＝3(x2＋2x2＋1)＝3(x2＋1＋2x2＋1－1)≥3(22－1)＝62－3.

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()

A．200 B．100

C．50 D．20

解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．

4．给出下面四个推导过程：

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba＋ab≥2ba?ab＝2；

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx?lgy；

③∵a∈R，a≠0，∴4a＋a ≥24a?a＝4；

④∵x，y∈R，，xy＜0，∴xy＋yx＝－[(－xy)＋(－yx)]≤－2?－xy??－yx?＝－2.

其中正确的推导过程为()

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．

①∵a，b∈(0，＋∞)，∴ba，ab∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确；

②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的；

③∵a∈R，不符合基本不等式的条件，

∴4a＋a≥24a?a＝4是错误的；

④由xy＜0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy＋yx提出负号后，(－xy)均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．

5．已知a＞0，b＞0，则1a＋1b＋2ab的最小值是()

A．2 B．22

C．4 D．5

解析：选C.∵1a＋1b＋2ab≥2ab＋2ab≥22×2＝4.当且仅当a＝bab＝1时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4.

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

A．最大值64 B．最大值164

C．最小值64 D．最小值164

解析：选C.∵x、y均为正数，

∴xy＝8x＋2y≥28x?2y＝8xy，

当且仅当8x＝2y时等号成立．

∴xy≥64.

二、填空题

7．函数y＝x＋1x＋1(x≥0)的最小值为________．

答案：1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

解析：1＝x＋4y≥2x?4y＝4xy，∴xy≤116.

答案：大116

9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．

解析：∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.

当且仅当x3＝y4时取等号．

答案：3

三、解答题

10．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋4x＋1＋6的最小值；

(2)求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最值．

解：(1)∵x＞－1，∴x＋1＞0.

∴y＝x＋4x＋1＋6＝x＋1＋4x＋1＋5

≥2 ?x＋1??4x＋1＋5＝9，

当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时，取等号．

∴x＝1时，函数的最小值是9.

(2)y＝x2＋8x－1＝x2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x－1

＝(x－1)＋9x－1＋2.∵x＞1，∴x－1＞0.

∴(x－1)＋9x－1＋2≥2?x－1??9x－1＋2＝8.

当且仅当x－1＝9x－1，即x＝4时等号成立，

∴y有最小值8.

11．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1a－1)?(1b－1)?(1c－1)≥8.

证明：∵a，b，c∈(0，＋∞)，a＋b＋c＝1，

∴1a－1＝1－aa＝b＋ca＝ba＋ca≥2bca，

同理1b－1≥2acb，1c－1≥2abc，

以上三个不等式两边分别相乘得

(1a－1)(1b－1)(1c－1)≥8.

当且仅当a＝b＝c时取等号．

12．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁忽略不计)．

问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低．

解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米．

总造价f(x)＝400×(2x＋2×200x)＋100×200x＋60×200

＝800×(x＋225x)＋12000

≥1600x?225x＋12000

＝36000(元)

当且仅当x＝225x(x＞0)，

即x＝15时等号成立．

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