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一.复习回顾

1.在同一坐标系上作出下列直线:

2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo简单线性规划(1)-可行域上的最优解2y

问题1：x 有无最大(小)值?

问题2：y 有无最大(小)值?

问题3：2x+y 有无最大(小)值?

2.作出下列不等式组的所表示的平面区域3二.提出问题

把上面两个问题综合起来:

设z=2x+y,求满足

时,求z的最大值和最小值.4y

直线L越往右平移,t随之增大.

以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.

可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。

思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值?5线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足

下列条件：

求z的最大值与最小值。

目标函数

(线性目标函数)线性约束条件

象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件

Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数6线性规划

线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.

可行解 ：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解;

可行域 ：由所有可行解组成的集合叫做可行域;

最优解 ：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)7

线性目标函数

线性约束条件

线性规划问题

任何一个满足不等式组的(x,y)可行解可行域所有的最优解

目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。8线性规划

例1 解下列线性规划问题：

求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下

列条件：

解线性规划问题的一般步骤：

第一步：在平面直角坐标系中作出可行域;

第二步：在可行域内找到最优解所对应的点;

第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。

探索结论2x+y=02x+y=-32x+y=3答案：当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值-3.

当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3.

也可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。9线性规划

例2 解下列线性规划问题：

求z=300x+900y的最大值和最小值，使式中x、y满足下列条件：

探索结论x+3y=0300x+900y=0

300x+900y=112500

答案：当x=0,y=0时，z=300x+900y有最小值0.

当x=0,y=125时，z=300x+900y有最大值112500.10例3: 某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?

若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙

种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?

把例3的有关数据列表表示如下:11将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内

所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y

都是有意义的.

解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:

问题：求利润2x+3y的最大值.

线性约束条件12若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:

当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?

当点P在可允许的取值范围变化时,13M(4，2)

问题：求利润z=2x+3y的最大值.

变式：若生产一件甲产品获利1万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大?14N(2，3)

变式：求利润z=x+3y的最大值.15解线性规划应用问题的一般步骤：

2)设好变元并列出不等式组和目标函数

3)由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;

4)在可行域内求目标函数的最优解

1)理清题意，列出表格：

5)还原成实际问题

(准确作图，准确计算)

画出线性约束条件所表示的可行域，画图力保准确;

法1：移-在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线;

法2：算-线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得(当两顶点的目标函数值相等时最优解落在一条边界线段上)。此法可弥补作图不准的局限。16例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润?

分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo17

解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，

能够产生利润Z万元。目标函数为Z=x+0.5y，

约束条件为下例不等式组，可行域如图红色阴影部分：

把Z=x+0.5y变形为y=-2x+2z，它表示斜率为-2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。

答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M容易求得M点的坐标为

(2，2)，则Zmax=3

线性约束条件18三、课堂练习(1)已知求z=2x+y的最大值和最小值。19551Oxyy-x=0x+y-1=01-1y+1=0A(2,-1)B(-1,-1)20练习2、已知

求z=3x+5y的最大值和最小值。21551Oxy1-15x+3y=15X-5y=3y=x+1A(-2,-1)B(3/2,5/2)22练习3：

某工厂生产甲、乙两种产品，生产1t甲种产品需要A种原料4t、 B种原料12t，产生的利润为2万元;生产1t乙种产品需要A种原料1t、 B种原料9t，产生的利润为1万元。现有库存A种原料10t、 B种原料60t，如何安排生产才能使利润最大?

相关数据列表如下：23设生产甲、乙两种产品的吨数

分别为x、y

何时达到最大?24

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