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第2章　圆锥曲线与方程(A)

(时间：120分钟　满分：160分)

一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1.已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为______________.

2.当a为任意实数时，直线(2a+3)x+y-4a+2=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是________________.

3.方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1 (m>0，n>0，m≠n)表示曲线在同一坐标系中的示意图可能为______________________.

4.短半轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线于A、B两点，且AB=8，则ABF2的周长为________.

5.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是________.

6.若直线mx-ny=4与O：x2+y2=4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆+=1的交点个数是________.

7.

如图所示，若等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px (p>0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则直角三角形ABO的面积是________.

8.已知抛物线y2=2px (p>0)与双曲线-=1 (a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AFx轴，则双曲线的离心率为________.

9.等轴双曲线x2-y2=a2截直线4x+5y=0所得弦长为，则双曲线的实轴长是________.

10.若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是(，0)，则双曲线的方程是_ ___________.

11.椭圆的两个焦点为F1、F2，短轴的一个端点为A，且三角形F1AF2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________.

12.点P(8,1)平分双曲线x2-4y2=4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________.

13.设椭圆+=1 (a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，线段F1F2被点分成31的两段，则此椭圆的离心率为________.

14.对于曲线C：+=1，给出下面四个命题：

曲线C不可能表示椭圆;

当14;

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1b>0)上的一点，F1、F2为椭圆的两焦点，若PF1PF2，试求：

(1)椭圆的方程;

(2)PF1F2的面积.

19.(16分)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，且AB=p，求AB所在的直线方程.

20.(16分)在直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C，直线y=kx+1与C交于A、B两点.

(1)写出C的方程;

⊥，求k的值.

第2章　圆锥曲线与方程(A)

1.+=1

解析　已知椭圆的离心率为，焦点是(-3,0)，(3,0)，则c=3，a=6，b2=36-9=27，

因此椭圆的方程为+=1.

2.y2=32x或x2=-y

解析　将直线方程化为(2x-4)a+3x+y+2=0，可得定点P(2，-8)，再设抛物线方程即可.

3.

解析　由m>0，n>0知mx2+ny2=1表示的是椭圆的方程，又由mx+ny2=0，

得y2=-x，所以抛物线开口向左.

4.16+2

解析　由于b=2，e==3，c=3a，

9a2=a2+4，a=，

设AF2>AF1，BF2>BF1，

则由双曲线的定义知：

AF2-AF1=，BF2-BF1=，

AF2+BF2-AB=2，

AF2+BF2=8+2，

则ABF2的周长为16+2.

5.

解析　由题意知AF1=F1F2，=·2c，

即a2-c2=ac，c2+ac-a2=0，

e2+e-1=0，解之得e=(负值舍去).

6.2

解析　由题意>2，即m2+n2<4，点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，与椭圆+=1的交点个数为2.

7.4p2

解析　由题意得xOA=xOB=45°，则可设点A(a，a)，代入抛物线的方程得a=2p，

S△ABO=×2a×a=a2=4p2.

8.+1

解析　F，A.

又c=，即p=2c，

A(c,2c).代入双曲线方程，化简，

得e4-6e2+1=0.

e>1，e=+1.

9.3

解析　注意到直线4x+5y=0过原点，可设弦的一端为(x1，y1)，则有 =.

可得x=，取x1=，y1=-2.

a2=-4=，|a|=，

2|a|=3.

10.x2-=1

解析　设双曲线方程为9x2-y2=λ (λ>0)，

即-=1.a2+b2=c2，

+λ=10，解得λ=9.

双曲线方程为x2-=1.

11.

解析　由已知得AF1F2=30°，故cos 30°=，

从而e=.

12.2x-y-15=0

解析　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x-4y=4，x-4y=4，

两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.

因为线段AB的中点为P(8,1)，

所以x1+x2=16，y1+y2=2.

所以==2.

所以直线AB的方程为y-1=2(x-8)，

代入x2-4y2=4满足Δ>0.

即2x-y-15=0.

13.

解析　由题意，得=3+c=3c-b

b=c，

因此e== = = =.

14.

解析　错误，当k=2时，方程表示椭圆;错误，因为k=时，方程表示圆;验证可得正确.

15.解　设P点的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0).

点M在椭圆+=1上，+=1.

M是线段PP′的中点，

把

代入+=1，得+=1，即x2+y2=36.

P点的轨迹方程为x2+y2=36.

16.解　设双曲线方程为-=1.

由椭圆+=1，求得两焦点为(-2,0)，(2,0)，

对于双曲线C：c=2.

又y=x为双曲线C的一条渐近线，

=，解得a2=1，b2=3，

双曲线C的方程为x2-=1.

17.解　将y=kx-2代入y2=8x中变形整理得：k2x2-(4k+8)x+4=0，

由，得k>-1且k≠0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由题意得：x1+x2==4k2=k+2k2-k-2=0.

解得：k=2或k=-1(舍去).

由弦长公式得：

AB=·=×=2.

18.解　(1)令F1(-c,0)，F2(c,0)，

则b2=a2-c2.因为PF1PF2，

所以kPF1·kPF2=-1，即·=-1，

解得c=5，所以设椭圆方程为+=1.

因为点P(3,4)在椭圆上，所以+=1.

解得a2=45或a2=5.

又因为a>c，所以a2=5舍去.

故所求椭圆方程为+=1.

(2)由椭圆定义知PF1+PF2=6，

又PF+PF=F1F=100，

①2-得2PF1·PF2=80，

所以SPF1F2=PF1·PF2=20.

19.解　焦点F(，0)，设A (x1，y1)，B(x2，y2)，

若ABOx，则AB=2p0恒成立.

故x1+x2=-，x1x2=-.

⊥，即x1x2+y1y2=0.

而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，

于是x1x2+y1y2=---+1=0，

化简得-4k2+1=0，所以k=±.

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