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2016-05-27
8.有一批钢管，长度都是4000 mm，要截成500 mm与600 mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比必须大于13才可配套，则需截取500 mm,600 mm各多少根才最合理( )
A.2,5 B.3,4
C.5,2 D.6,1
解析：设截得500 mm的毛坯x根，600 mm的毛坯y根，产品总量为z，根据题意得不等式组
500x+600y≤4000，xy>13，x>0，y>0，z=x+y(x，y∈N).
即5x+6y≤40，3x-y>0，x>0，y>0，z=x+y(x，y∈N).
作出以上不等式组所表示的平面区域，如上图，即可行域，并标出整点，作直线l：x+y=0，作一组平行于l的平行线x+y=z.当x=2，y=5或x=3，y=4或x=4，y=3或x=5，y=2或x=6，y=1时都使z取最大值zmax=7，但考虑用料最大，就是损耗最小的实际情况，在产品最多的条件下，损耗最小即为最优解，故x=2，y=5符合题意.
因此截取500 mm的2根，600 mm的5根最合理，故选A.
答案：A
9.(2009•陕西卷)若x，y满足约束条件x+y≥1，x-y≥-1，2x-y≤2，目标函数z=ax+2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是( )
A.(-1,2) B.(-4,2)
C.(-4,0] D.(-2,4)
解析：如下图，约束条件的平面区域为三角形，而目标函数z=ax+2y即y=-a2x+z2仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足-1<-a2<2⇒-4
答案：B
10.(2009•四川)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A.12万元 B.20万元
C.25万元 D.27万元
解析：设甲、乙两种产品各生产x、y吨，获得利润为z，故本题即已知约束条件3x+y≤132x+3y≤18x≥0y≥0，求目标函数z=5x+3y的最大值.不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示.作直线l0：5x+3y=0，易知当平移l0至点(3,4)时，z取得最大值为5×3+3×4=27.故选D.
答案：D
二、填空题
11.某工厂两种不同原料可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克，若采用乙种原料每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克，今预算每日总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日最多可生产________千克产品.
解析：设采用甲种原料x吨，乙种原料y吨，得约束条件为：
1000x+1500y≤6000，500x+400y≤2000，x≥0，y≥0⇔2x+3y-12≤0，5x+4y-20≤0，x≥0，y≥0.
目标函数为z=90x+100y，
∴zmax=90×127+100×207=440.
故此工厂每日最多可生产440千克产品.
答案：440
12.蔬菜价格随着季节的变化而有所变化.根据对农贸市场蔬菜价格的调查得知，购买2千克甲种蔬菜与1千克乙种蔬菜所需费用之和大于8元，而购买4千克甲种蔬菜与5千克乙种蔬菜所需费用之和小于22元.设购买2千克甲种蔬菜所需费用为A元，购买3千克乙种蔬菜所需费用为B元，则A________B.
解析：设甲、乙两种蔬菜的价格分别为x，y元，则2x+y>84x+5y<22，两式分别乘22、8得12x-18y>0，即2x-3y>0，故A>B.
答案：>
13.欲用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数量尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买________才行?
解析：设桌、椅分别买x、y张，
∴50x+20y≤2000，y≥x，y≤1.5x，x∈N，y∈N.
z=x+y，由x=y，50x+20y=2000解得A(2007，2007).
由50x+20y=2000，y=1.5x，解得B(25，752).
∴满足约束条件的可行域是以A(2007，2007)，B(25，752)，O(0,0)为顶点的三角形区域，如图中所示阴影部分，
由图形直观可知目标函数z=x+y在可行域内的最优解为(25，752)，但注意到x∈N，y∈N，故取y=37，所以买桌子25张，椅子37张是满足题设的最好选择.
答案：桌子25张，椅子37张
14.(2009•山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元.
分析：由题目可获取以下主要信息：
①甲、乙两种设备每天生产A类、B类产品件数已知;
②甲、乙两种设备的租赁费已知;
③生产A类、B类产品数量已知.
解答本题可先设出变量，建立目标函数和约束条件，转化为线性规划问题来求解.
解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，租赁费z元，
由题意得5x+6y≥5010x+20y≥140x，y≥0且x，y∈N
z=200x+300y.
作出下图所示的可行域.
令z=0，得l0：2x+3y=0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值.
又由5x+6y=5010x+20y=140得A点坐标为(4,5).
所以zmin=4×200+5×300=2300.
答案：2300
三、解答题
15.有一批同规格钢条，按第一种方式切割，可截成长度为a的2根，长度为b的3根;按第二种方式切割，可截成长度为a的3根，长度为b的1根.
(1)现需将长度为a的2根与长度为b的1根配成一套，求这两种切割方式应满足的比例;
(2)若长度为a的至少需50根，长度为b的至少需45根，应如何切割可使钢条用量最省?
解析：设按第一种切割方式需x根，按第二种切割方式需y根.
(1)依题意得2x+3y3x+y=21，所以xy=14.
(2)2x+3y≥50，3x+y≥45，x，y∈N，
目标函数z=x+y，用可行域中的整点比较得(12,9)，(13,8)使z=x+y取最小值21.
16.某工厂生产A、B两种产品，已知制造A产品1 kg需用9 t煤，4 kW•h电，3个劳动力(按工作日计算);制造B产品1 kg需用4 t煤，5 kW•h电，10个劳动力.又知制造A产品1 kg可获利7万元，制造B产品1 kg可获利12万元.现在此工厂只有煤360 t，电200 kW•h，劳动力300个.在这种条件下怎样搭配可使工厂获利最多?
解析：设该厂分别生产A、B产品x kg、y kg，利润为z万元，
由题意得约束条件为9x+4y≤360，4x+5y≤200，3x+10y≤300，x≥0，y≥0，
目标函数为z=7x+12y，由约束条件表示的平面区域可得最优解为(20,24)，zmax=428.
17.甲、乙两公司生产同一种产品，但由于设备陈旧，需要更新.经测算对于函数f(x)、g(x)及任意的x≥0，当甲公司投放x万元改造设备时，若乙公司投放改造设备费用小于g(x)万元，则乙公司有倒闭的风险，否则无倒闭风险;同样，当乙公司投入x万元改造设备时，若甲公司投入改造设备费用小于f(x)万元，则甲公司有倒闭的风险;否则无倒闭的风险.
(1)请解释f(0)，g(0)的实际意义;
(2)设f(x)=x+5，g(x)=12x+10，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无倒闭风险的情况下尽可能地减少改造设备资金，问此时甲、乙两公司各投入多少万元?
解析：(1)f(0)表示当乙公司不投入资金改造设备时，甲公司要避免倒闭，至少要投入f(0)万元的资金;g(0)表示当甲公司不投入资金改造设备时，乙公司要避免倒闭风险，至少要投入g(0)万元的资金.
(2)设甲公司投放的资金为x万元，乙公司投入的资金为y万元，由题意，甲、乙公司均无倒闭风险，需
y≥x+5，x≥12y+10，x≥0，y≥0.双方均无倒闭风险区域如下图所示.
解x-y+5=0，2x-y-20=0，得P(25,30).
故在均无倒闭的风险的情况下，甲公司至少投入25万元，乙公司至少投入30万元.
18.某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的广告，每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元?
解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
x+y≤300，500x+200y≤90000，x≥0，y≥0，目标函数为z=3000x+2000y.
二元一次不等式组等价于x+y≤300，5x+2y≤900，x≥0，y≥0.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如下图所示.
作直线l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0，
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.
由x+y=300，5x+2y=900.解得x=100，y=200，
∴点M的坐标为(100,200)，
∴zmax=3000x+2000y=700000(元).
故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告时，公司的收益最大，最大收益是70万元.
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