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精编高二文科数学函数、不等式专项训练题

编辑:sx_yanxf

2016-05-13

不断努力学习才能丰富自己的知识,下文是威廉希尔app 为大家带来的函数、不等式专项训练题,大家一定要仔细阅读哦。

一、选择题

1.(2014•北京卷)下列函数中,定义域是R且为增函数的是 (  ).

A.y=e-x  B.y=x3

C.y=ln x  D.y=|x|

解析 依据函数解析式,通过判断定义域和单调性,逐项验证.A项,函数定义域为R,但在R上为减函数,故不符合要求;B项,函数定义域为R,且在R上为增函数,故符合要求;C项,函数定义域为(0,+∞),不符合要求;D项,函数定义域为R,但在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,不符合要求.

答案 B

2.(2014•临沂一模)函数f(x)=lnxx-1+x12 的定义域为 (  ).

A.(0,+∞)  B.(1,+∞)

C.(0,1)  D.(0,1)∪(1,+∞)

解析 要使函数有意义,则有x≥0,xx-1>0,

即x≥0,xx-1>0,解得x>1.

答案 B

3.(2014•江西卷)已知函数f(x)=a•2x,x≥0,2-x,x<0(a∈R),若f[f(-1)]=1,则a=  (  ).

A.14  B.12

C.1  D.2

解析 根据分段函数的解析式列方程求字母的取值.

由题意得f(-1)=2-(-1)=2,f[f(-1)]=f(2)=a•22=4a=1,∴a=14.

答案 A

4.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=  (  ).

A.ex+1  B.ex-1

C.e-x+1  D.e-x-1

解析 与曲线y=ex图象关于y轴对称的曲线为y=e-x,函数y=e-x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象,即f(x)=e-(x+1)=e-x-1.

答案 D

5.(2014•山东卷)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是  (  ).

A.a>1,c>1

B.a>1,0

C.01

D.0

解析 依据对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换求解.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0

答案 D

6.(2013•浙江卷)已知x,y为正实数,则 (  ).

A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y  B.2lg(x+y)=2lg x•2lg y

C.2lg x•lg y=2lg x+2lg y  D.2lg(xy)=2lg x•2lg y

解析 2lg x•2lg y=2lg x+lg y=2lg(xy).故选D.

答案 D

7.(2014•安徽卷)设a=log37,b=21.1,c=0.83.1,则 (  ).

A.b

C.c

解析 利用“媒介”法比较大小.∵a=log37,∴12.∵c=0.83.1,∴0

答案 B

二、填空题

8.已知f(x)=ln(1+x)的定义域为集合M,g(x)=2x+1的值域为集合N,则M∩N=________.

解析 由对数与指数函数的知识,得M=(-1,+∞),N=(1,+∞),故M∩N=(1,+∞).

答案 (1,+∞)

9.(2014•大纲全国卷改编)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=______________.

解析 由函数的奇偶性和对称性推出周期性,利用周期性求函数值.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.

答案 1

10.(2014•新课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)=ex-1,x<1,x13, x≥1,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________.

解析 结合题意分段求解,再取并集.当x<1时,x-1<0,ex-1

答案 (-∞,8]

11.(2013•济南模拟)已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围是________.

解析 f′(x)=3x2+1>0,∴f(x)在R上为增函数.

又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)<0知,f(mx-2)

令g(m)=mx+x-2,由m∈[-2,2]知g(m)<0恒成立,可得g-2=-x-2<0,g2=3x-2<0,∴-2

答案 -2,23

12.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对∀x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有fx1-fx2x1-x2<0,给出下列命题:

①f(2)=0;

②直线x=-4是函数y=f(x)图象的一条对称轴;

③函数y=f(x)在[-4,4]上有四个零点;

④f(2 014)=0.

其中所有正确命题的序号为________.

解析 令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得f(-2)=0,因为函数f(x)为偶函数,所以f(2)=0,①正确;因为f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以f(-4+x)=f(-4-x),即x=-4是函数f(x)的一条对称轴,②正确;当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有fx1-fx2x1-x2<0,说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又f(2)=0,因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点,由偶函数知函数f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由f(x+4)=f(x),知函数的周期为4,所以函数f(x)在(2,6]与[-6,-2)上也单调且有f(6)=f(-6)=0,因此,函数在[-4,4]上只有2个零点,③错;对于④,因为函数的周期为4,即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0,④正确.

答案 ①②④

三、解答题

13.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.

(1)写出函数g(x)的解析式;

(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.

解 (1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点,因为Q(-x,-y)在f(x)的图象上,所以-y=loga(-x+1),

即y=-loga(1-x)(x<1).

(2)f(x)+g(x)≥m,

即loga1+x1-x≥m.

设F(x)=loga1+x1-x,x∈[0,1).

由题意知,只要F(x)min≥m即可.

因为F(x)在[0,1)上是增函数,所以F(x)min=F(0)=0.

故m的取值范围是(-∞,0].

14.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a>0),F(x)=fx,x>0,-fx,x<0.若f(-1)=0,且对任意实数x均有f(x)≥0成立.

(1)求F(x)的表达式;

(2)当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求k的取值范围.

解 (1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0,

∴b=a+1,

∴f(x)=ax2+(a+1)x+1.

∵f(x)≥0恒成立,

∴a>0,Δ=a+12-4a≤0,

即a>0,a-12≤0.

∴a=1,从而b=2,∴f(x)=x2+2x+1,

∴F(x)=x2+2x+1  x>0,-x2-2x-1  x<0.

(2)由(1)知,g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1.

∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,

∴k-22≤-2或k-22≥2,

解得k≤-2或k≥6.

所以k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).

15.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).

(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;

(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由.

解 (1)∵f(x)=ex-1ex,且y=ex是增函数,y=-1ex是增函数,所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立

⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立

⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立

⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立

⇔t+122≤x+122min对一切x∈R恒成立

⇔t+122≤0⇔t=-12.

即存在实数t=-12,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立.

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