(2)由题意可得f(x)≤g(x)，即|x+ |﹣|x|≤1+ ，

而|x+ |﹣|x|表示数轴上的x对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离，它的最小值为﹣ ，

再根据存在实数x，使得f(x)≤g(x)，故有﹣ ≤1+ ，求得 a≥﹣3.

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题.

19.在中学综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生互评，某校2014-2015学年高二年级有男生500人，女生400人，为了了解性别对该维度测评结果的影响，采用分层抽样方法从2014-2015学年高二年级抽取了45名学生的测评结果，并作出频数统计表如下：

表1：男生

等级 优秀 合格 尚待改进

频数 15 x 5

表2：女生

等级 优秀 合格 尚待改进

频数 15 3 y

(1)从表2的非优秀学生中随机选取2人交谈，求所选2人中恰有1人测评等级为合格的概率;

(2)由表中统计数据填写下边2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

男生 女生 总计

优秀

非优秀

总计

参考数据与公式：K2= 临界值表

P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005

k0 2.706 3.841 6.635 7.879

考点：独立性检验的应用.

专题：应用题;概率与统计.

分析：(1)根据分层抽样，求出x与y，得到表2中非优秀学生共5人，从这5人中任选2人的所有可能结果共10种，其中恰有1人测评等级为合格的情况共6种，可得概率;

(2)根据P(K2≥2.706)= =1.125<2.706，判断出没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

解答： 解：(1)设从2014-2015学年高一年级男生中抽出m人，则 ，∴m=25

∴x=25﹣15﹣5=5，y=20﹣18=2

表2中非优秀学生共5人，记测评等级为合格的3人为a，b，c，尚待改进的2人为A，B，

则从这5人中任选2人的所有可能结果为(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)共10种，

记事件C表示“从表二的非优秀学生5人中随机选取2人，恰有1人测评等级为合格”

则C的结果为：(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，共6种，

∴P(C)= = ，故所求概率为 ;

(2)2×2列联表

男生 女生 总计

优秀 15 15 30

非优秀 10 5 15

总计 25 20 45

∵P(K2≥2.706)= =1.125<2.706

∴没有90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关”.

点评：本题考查了古典概率模型的概率公式，独立性检验，考查学生的计算能力，属于中档题.

20.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形

(1)求f(6)的值

(2)求出f(n)的表达式

(3)求证：1≤ + + +…+ < .

考点：数列的应用;归纳推理.

专题：点列、递归数列与数学归纳法;推理和证明.

分析：(1)先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f(5);

(2)总结一般性的规律，可知f(n+1)﹣f(n)=4n，利用叠加法，可求f(n)的表达式;

(3)根据通项特点，利用裂项法求和，结合数列的单调性即可得证.

解答： 解：(1)f(1)=1，f(2)=1+4=5，

f(3)=1+4+8=13，f(4)=1+4+8+12=25，

f(5)=1+4+8+12+16=41.f(6)=1+4+8+12+16+20=61;

(2)∵f(2)﹣f(1)=4=4×1，

f(3)﹣f(2)=8=4×2，

f(4)﹣ f(3)=12=4×3，

f(5)﹣f(4)=16=4×4，

由上式规律得出f(n+1)﹣f(n)=4n.

∴f(n)﹣f(n﹣1)=4(n﹣1)，

f(n﹣1)﹣f(n﹣2)=4•(n﹣2)，

f(n﹣2)﹣f( n﹣3)=4•(n﹣3)，

…

f(2)﹣f(1)=4×1，

∴f(n)﹣f(1)=4[(n﹣1)+(n﹣2)+…+2+1]

=2(n﹣1)•n，

∴f(n)=2n2﹣2n+1;

(3)证明：当n≥2时， = = ( ﹣ )，

∴ + + +…+ =1+ (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )

=1+ (1﹣ )= ﹣ .

n=1时，上式也成立.

由于g(n)= ﹣ 为递增数列，

即有g(n)≥g(1)=1，

且g(n)< ，

则1≤ + + +…+ < 成立.

点评：本题主要考查归纳推理，其基本思路是先分析具体，观察，总结其内在联系，得到一般性的结论，同时考查了裂项法求数列的和，属于中档题.

21.已知函数f(x)=x2+ x2+ax+b，g(x)=x3+ x2+lnx+b，(a，b为常数)

(1)若g(x)在x=1处切线过点(0，﹣ 5)，求b的值

(2)令F(x)=f(x)﹣g(x)，若函数F(x)存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围.

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.

专题：导数的综合应用.

分析：(1)由求导公式和法则求g′(x)，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由题意和点斜式方程求出切线方程，把x=1代入求出切点坐标，代入g(x)求出b的值;

(2)求函数F(x)以及 定义域，求出F′(x)，利用导数和极值之间的关系将条件转化：F′(x)=0在(0，+∞)上有根，即即2x2﹣ax+1=0在(0，+∞)上有根，根据二次方程根的分布问题列出方程组，根据条件列出关于a的不等式，求出a的范围.

解答： 解：(1)由题意得， ，

∴g(x)在x=1处切线的斜率k=g′(1)=11，

∵在x=1处切线过点(0，﹣5)，

∴g(x)在x=1处切线方程是：y+5=11x，即y=11x﹣5，

当x=1时，y=6，则切点的坐标是(1，6)，

代入g(x)得，6=1+ +b，解得b= ;

(2)由条件得，F(x)=ax﹣x2﹣lnx，且x∈(0，+∞)，

则F′(x)=a﹣2x﹣ =﹣ ，

∵函数F(x)存在极值，∴F′(x)=0在(0，+∞)上有根，

即2x2﹣ax+1=0在(0，+∞)上有根，∴△=a2﹣8≥0，

显然当△=0时，F(x)无极值，不合题意;

所以方程必有两个不等正根.记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，

则 ，且F(x1)，F(x2)是函数F(x)的两个极值，

由题意得，F(x1)+F(x2)=a(x1+x2)﹣ ﹣(lnx1+lnx2)

= >5﹣ln ，

化简解得，a2>16，满足△>0，

又 ，即a>0，

∴所求a的取值范围是(4，+∞).

点评：本题 考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值的关系，以及二次方程根的分布问题，考查转化思想，化简、变形能力，综合性大、难度大.

22.已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，且经过点A(1，0)，直线l交C于M、N两点

(1)求椭圆C的方程

(2)若△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求直线l的方程.

考点：椭圆的简单性质.

专题：综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：(1)利用椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，且经过点A(1，0)，求出a，b，即可求椭圆C的标准方程;

(2)设直线l的方程为x=my+n，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求出m，n，即可求直线l的方程.

解答： 解：(1)由题意，b=1，

∵ =1﹣e2= ，

∴a=2，

∴椭圆C的方程为 =1;

(2)设l：x=my+n，代入椭圆方程可得(4m2+1)y2+8mny+4n2﹣4=0，

△=16(4m2﹣n2+1)

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

∵AM⊥AN，

∴(x1﹣1)(x2﹣1)+y1y2=0，

∴(m2+1)y1y2+m(n﹣1)(y1+y2)+(n﹣1)2=0，

∴(m2+1)• +m(n﹣1)(﹣ )+(n﹣1)2=0

∴n=﹣ 或1(舍去).

MN的中点( ， )

∵AM=AN，

∴ =﹣m，

∵n=﹣ ，

∴ m=0或m2= ，

此时△>0，

从而直线l的方程为x=﹣ 或x=± y﹣ .

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查 学生分析解决问题的能力，属于中档题.

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