数学在科学发展和现代生活生产中的应用非常广泛，威廉希尔app 为大家推荐了高二上学期数学期中考试题，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

一、填空题(本题共14小题，每小题5分，合计70分。请把答案直接填写在答题纸相应的位置上.)

1. 不等式3-xx-1>0的解集为____ ▲____.

2. 若命题“对 x∈R，x2+4cx+1>0”是假命题，则实数c的取值范围是___ ▲_____.

3.从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为____ ▲____.

4. 某人5 次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ▲____.

5.如果执行如图所示的流程图，那么输出的S=___ ▲_____.

6.已知△ABC的三个内角A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________条件.(选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)

7.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|-a2+a+2>0}的概率为____ ▲____.

8. 已知椭圆x210-m+y2m-2=1，长轴在y轴上.若焦距为4，则m=___ ▲____.

9.已知变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，则 的最大值______ ▲_______.

10. 已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数.若1x+1y的最小值为16，则正实数t的值是  ▲   .

11.已知函数f(x)=21-x，x≤1，2-log2x，x>1，则满足f(x)≥1的x的取值范围是_______▲ _____.

12.已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M( ,0)，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于____▲ ____.

13.  不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a、b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为______▲ ______.

14.设a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是____▲ ______.

二、解答题(本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.(本小题14分)设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，q：实数x满足 .

(1) 若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围;

(2) 若 p是 q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

16.(本小题14分).已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞).

(1) 当a=4时，求函数f(x)的最小值;

(2) 若对任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，试求实数a的取值范围.

17.(本小题14分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：

(1) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图;

(2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分;

(3) 用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50,60)的概率.

18.(本小题16分) 如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2. 过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(2，1).

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 设椭圆C的一个顶点为B(0，-b)，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积.

19.(本小题16分)某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元;二是燃油费，约为1.6元/km;三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm.

(1) 试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数;

(2) 若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y取得最大值?

20.(本小题16分)设A1、A2与B分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切.

(1) 求证：1a2+1b2=1;

(2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为-13，求椭圆E的方程;

(3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM→•ON→=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由.

二、解答题(本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

15.(本小题14分)解：(1) 由x2-4ax+3a2<0，得(x-3a)(x-a)<0.又a>0，

所以a

当a=1时，1

由 ，得2

即q为真时实数x的取值范围是2

若p∧q为真，则p真且q真，…………………………………………………………………………………5分

所以实数x的取值范围是2

(2)   p是 q的充分不必要条件，即 p  q，且 q  p.

设A={x| p}，B={x| q}，则A B.

又A={x| p}={x|x≤a或x≥3a}, B={x| q}={x≤2或x>3}，则03，

所以实数a的取值范围是1

16.(本小题14分) 解：(1) 由a=4，∴f(x)=x2+2x+4x=x+4x+2≥6，当x=2时，取得等号.

即当x=2时，f(x)min=6.………………………………………………………………………………6分

(没有写等号成立的条件扣2分，如用函数单调性需要证明)

(2) x∈[1，4]，x2+2x+ax>6恒成立，即x∈[1，4]，x2+2x+a>6x恒成立.

等价于a>-x2+4x，当x∈[1，4]时恒成立，

令g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………………………………10分

∴a>g(x)max=g(2)=4，即.

∴a的取值范围是a>4……………………………………………………………………………………14分

17.(本小题14分)解：(1) 分数在[70,80)内的频率为

1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.

又0.310=0.03，补出的图形如下图所示.……………………………………………………………4分

(2) 平均分为：x -=45×0.1+55×0. 15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答：估计这次考试的平均分是71分.………………………………………………………………………………………8分

(3) 由题意，[40,50)分数段的人数为0.10×60=6人;[50,60)分数段的人数为0.15×60=9人;

在[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40,50)分数段抽取2人，分别记为m，n;[50,60)分数段抽取3人，分别记为a，b，c，

设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,60)为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10种，则事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9种，

所以P(A)= =0.9.……………………………………………………………………………………14分

18.(本小题16分)解：(1) 由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a. 由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a=2.又a2-b2=2，得b2=2.

∴椭圆C的方程为x24+y22=1.……………………………………………………………………………6分

(2) 直线BF2的方程为y=x-2.

由 y=x-2x24+y22=1)，得点N的纵坐标为23. ………………………………………………………10分

又|F1F2|=22，

∴S△F1BN=12×2+23×22=83……………………………………………………………………16分

(2) (本小题16分)解：(1) F(x)= ，

即F(x)= .…………………………………………………………………………2分

设折旧费z=kx2，将(100,0.1)代入，

得0.1=1002k     解得k=1105……………………………………………………………………4分

，所以C(x)=2.3+1.6x+1105x2.………………………………………………………………………………6分

(2) 由题意得y=4.7x-1105x-1.6，　 2≤x≤30.8-2.5x+1105x，  x>3，………………………………………………9分

①当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8-225106=0.79(当且仅当x=500时取等号);………12分

②当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减，

得ymax=4.72-2105-1.6=0.75-2105<0.79.……………………………………………………………15分

答： 该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值.…………………………16分

20.(本小题16分) (1) 证明：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是xa+yb=1.

因为A2B与圆C：x2+y2=1相切，所以11a2+1b2=1，

即1a2+1b2=1.…………………………………………………………………………………………4分

(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为

kPA1•kPA2=y0x0+a•y0x0-a=y20x20-a2=-13?x20a2+3y20a2=1，而x20a2+y20b2=1，

所以b2=13a2.………………………………………………………………………………………8分

结合1a2+1b2=1，得a2=4，b2=43.

所以，椭圆E的方程为x24+3y24=1.………………………………………………………………10分

(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2).

① 若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，

由y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得x2a2+kx+m2b2=1.

化简，得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(Δ>0).

∴ x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2

=a2k2m2-a2b2k2b2+a2k2+km-2a2kmb2+a2k2+m2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.

因为OM→•ON→=0，所以x1x2+y1y2=0.

代入，得(a2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0.

结合(1)的1a2+1b2=1，得m2=1+k2.

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