高中2014年高二下册理科数学期末试卷

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一、选择题XK(共10小题，每小题4分,共40分)

1. 是虚数单位，复数 的虚部是                               ( ▲ )

A. -2i              B.-2                C.2           D.1

2.下列求导运算正确的是                                              ( ▲ )

A.           B.

C.         D.

3. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为                                                  ( ▲ )

A.1     B.        C.        D.

4.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的极值点，因为函数 在 的导数值 ，所以 是函数 的极值点. 以上 推理中                                ( ▲ )

A.大前提错误     B.小前提错误    C.推理形式错误  D.结论正确

5.设实数 满足 ，则 中                          ( ▲ )

A.至多有两个不小于1              B.至少有两个不小于1

C.至多有一个不大于1              D.至少有一个不小于1

6.已知离散型随机变量X的分布列如右表所示，若E(X)=0，D(X)=1，则a-b=  ( ▲ )

A .       B.

C . 1      D.  0

7. 若 的展开式中常数项为-1，则 的值为               ( ▲ )

A.1          B.8           C.-1或-9            D.1或9

8. 从6个高度不同的同学中选取5个同学排成一排照相，要求偶数位置的同学高于相邻两个奇数位置的同学，则可产生的照片数是                                ( ▲ )

A. 60        B.72             C.84         D.96

9.已知 是定义在R上的函数，且 ， >1,则 的解集是( ▲ ) .(0 , 1)         B.    C.        D.

10. 口袋里放有大小相同的2个红球和1个白球，有放回的每次摸取一个球，定义数列 ：  ，如果 为数列 的前n项之和，那么 的概率为                                                        ( ▲ )

A.  B.  C.    D.

二、填空题(共7小题，每小题4分,共28分)

11.已知a,b是实数，且 (其中i是虚数单位)，则 的值是___▲___.

12.  ____▲_   .

13.求曲线 在点 处的切线方程_______▲________.

14.函数 的单调递减区间是     ▲      .

15.用数学归纳法证明“ ”( )时，从 “ ”时，左边应增添的式子是        ▲          .

16.函数 的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是__________▲________.

17. 如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)

按如下规则标上数字标签：原点 处标0，点 处标1，点 处标2，点 处标3，点 处标4，点 处标5，………,依此类推，则标签 对应的格点的坐标为__  ▲____.

三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分8分)学校组织5名同学甲、乙、丙、丁、戊去3个工厂A、B、C进行社会实践活动,每个同学只能去一个工厂。

(1)问有多少种不同分配方案?

(2)若每个工厂都有同学去，问有多少种不同分配方案?【结果用数字作答】

19.(本题满分8分)已知数列{an}、{bn}满足： .

(1)求b1,b2,b3,b4;

(2)猜想数列{bn}的通项公式，并用数学归纳法证明;

20.(本题满分10分)若 的展开式中 与 的系数之比为 ，其中

(1)当 时，求 的 展开式中二项式系数最大的项;

(2)令 ，求 的最小值.

21. (本题满分12分)盒子中装有大小相同的10只小球，其中2只红球，4只黑球，4只白球.规定：一次摸出3只球，如果这3只球是同色的，就奖励10元，否则罚款2元.

(1)若某人摸一次球，求他获奖励10元的概率;

(2)若有10人参加摸球游戏，每人摸一 次，摸后放回，记随机变量 为获奖励的人数.

(i)求 ;(ii)求这10人所得总钱数的期望.(结果用分数表示，参考数据： )

22. (本题满分14分)

(A类)(第一、二层次学校的学生做此题)

已知函数

(1)若 为 的极值点，求实数 的值;

(2)若 ， 在 上为增函数，求实数 的取值范围;

(3)若 ，使方程 有实根，求实数 的取值范围.

(B类)(第三、四层次学校的学生做此题)

已知二次函数h(x)=ax2+bx+c(c>0)，其导函数y=h′(x)的图象如下，且f(x)=ln x-h(x).

(1)求a,b的值;

(2)若函数f(x)在12，m+14上是单调递减函数，求实数m的取值范围;

(3)若函数y=2x-lnx(x∈[1,4])的图象总在函数y=f(x)的图象的上方，求c的取值范围.

参考答案

一、选择题XK(共10小题，每小题4分,共40分)

BCBAD  ADDCB

二、填空题(共7小题，每小题4分,共28分)

11.         12.      13.         14.

15.    16.     17. (1007,-1007)

三、解答题：本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分8分(1) ……………………………………………………3分K]

(2)分两类：

①三个同学去某个工厂，另外两个工厂各1人去有 种情况。………5分

②一个同学某个工厂，另外两个工厂各2人去有 ，……………7分

所以共有 150种情况……………………………………………………………………8分

19.(本题满分8分)解： (1)

∵       ∴ ……………………………4分[来

(2)猜想 ，下面用数学归纳法证明;………………………………5分

①当 时， ，命题成立;…………………………………6分

②假设当 时命题成立，即 ;

那么当 时， ，

所以当 命题也成立;

由①②可知对任意正整数命题都成立。……………………………………8分

20.(本题满分10分)

(1)展开式中含 的项为： ，展开式中含 的项为： ……2分

得： ， ……………………………………………………3分

所以，当a=1时， 的展开式中二项式系数最大的项为

………………………………………………5分

(2)由 ，  ，

当 时， ，当 时， ，

所以   在 递减，在 递增，

得 的最小值为 , 此时

21. (本题满分12分)解：(I) ………………………………………3分

(II)方法一：(i)由题意 服从

则 …7分

(ii)设 为在一局中的输赢，则

………………………………12分

方法二：

(i)  …7分

(ii)

…………………………………12分

22. (本题满分14分)(A类)(第一、二层次学校的学生做此题)

解：(1)

的极值点，

………………2分[来源:Z#x

检验：当 时， ，  从而 的极值点成立.……3分

(2)因为 上为增函数，

所以 上恒成立.

所以 上恒成立.…………………5分

若 ，则 ，  上为增函数不成立。……6分

若 令 ，

其对称轴为 因为

从而 上为增函数.

所以只要 即可，即

所以 又因为 ………………………9分

(3)若 时，方程

可得 在x>0上有解………………………………………10分

法一：令

由   ，

从而 上为增函数;当 ，从而 上为减函数.

可以无穷小.………………………………………………12分

结合函数h(x)与函数 的图象

可知  ………………………………………………… 14分

法二：即 上有解

即求函数 的值域.

当 ，所以 上递增;

当 所以 上递减;………………12分

又

所以 上递减;当 ，

所以 上递增;当 上递减;

又当 ，

当 则

所以  ………………………………………………… 14分

(B类)(第三、四层次学校的学生做此题)

解：(1)由题知，h′(x)=2ax+b，其图象为直线，且过A(2，-1)、B(0,3)两点，

∴4a+b=-1b=3，解得a=-1b=3 ………………………………………… 3分

(2)由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)，

由(1)知，f′(x)=2x-3+1x=2x2-3x+1x= ………………… 4分

令f′(x)=0，得x=12或x=1.

当x变化时，f(x)、f′(x)随x的变化情况如下表：

x 0，12

12

12，1

1 (1，+∞)

f′(x) + 0 - 0 +

f(x) ?

极大值 ?

极小值 ?

∴f(x)的单调递减区间为12，1.…………… 7分

要使函数f(x)在区间12，m+14上是单调递减函数，

则12

故实数m的取值范围是14，34………………………………………………9分

(3)由题意可知，2x-ln x>x2-3x-c+ln x在x∈[1,4]上恒成立，

即当x∈[1,4]时，c>x2-5x+2ln x恒成立

设g(x)=x2-5x+2ln x，x∈[1,4]，则c>g(x)max.……………………………11分

易知g′(x)=2x-5+2x=2x2-5x+2x= .

令g′(x)=0得，x=12或x=2.

当x∈(1,2)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减;当x∈(2,4)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增.

而g(1)=12-5×1+2ln 1=-4，g(4)=42-5×4+2ln 4=-4+4ln 2，

显然g(1)

故c>-4+4ln 2.

∴c的取值范围为(-4+4ln 2，+∞) ……………………………………………14分

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