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高二下册数学期末试题答案：

一、填空题(本大题共14题，每题4分，满分56分)

1. 设复数 满足 ,则 ______ ______。

2. 三个平面最多把空间分割成     8             个部分。

3. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180的扇形，则这个圆锥的体积是      。

4. 如图,在正三棱柱 中, ,异面直线 与 所成角

的大小为 ,该三棱柱的体积为                 。

5.  的展开式中的常数项是      60         。

6. 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有     512       种。

7. 将三个1、三个2、三个3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，则不同的填写方法共有   12      种。

8. 用4种颜色给一个正四面体的4个顶点染色，若同一条棱的两个端点不能用相同的颜色，那么不同的染色方法共有_____24________种。

9. 从 个正整数 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 的概率为 ,则  8 。

10. 用0、1、2、3、4、5组成一个无重复数字的五位数，这个数是偶数的概率为       。

11. 设复数 ， ， 在复平面上所对应点在

直线 上，则 =            。

12. 如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，

则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为                。

13. 在直三棱柱 中，底面ABC为直角三角形， ， . 已知G与E分别为 和 的中点，D与F分别为线段 和 上的动点(不包括端点). 若 ，则线段 的长度的最小值为                 。

【解】建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则 ( )， ， ， ( )。所以 ， 。因为 ，所以 ，由此推出  。又 ，  ，从而有  。

14. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为 的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是           .

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为 ，作平面 //平面 ，与小球相切于点 ，则小球球心 为正四面体 的中心， ，垂足 为 的中心.

因

，

故 ，从而 .

记此时小球与面 的切点为 ，连接 ，则

.

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 )相切时的情况，易知小球在面 上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为 ，如答12图2.记正四面体

的棱长为 ，过 作 于 .

因 ，有 ，故小三角形的边长 .

小球与面 不能接触到的部分的面积为(如答12图2中阴影部分)

.

又 ， ，所以

.

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 .

二、选择题(本大题共4题，每题5分，满分20分)

15.   已知 为异面直线, 平面 , 平面 .平面α与β外的直线 满足 ,则(D　)

A. ,且  B. ,且

C. 与 相交,且交线垂直于  D. 与 相交,且交线平行于

16.   如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为              (　A　)

A.  B.  C.  D.

17. 三个人乘同一列火车，火车有10节车厢，则至少有2人上了同一车厢的概率为     ( B  )

A.       B.       C.         D.

18.  除以100的余数是               (C )

A.1   B.79  C. 21  D. 81

解：

=

= 4

即 除以100的余数为21。

三、解答题(本大题共5题，满分74分12’+14’+14’+16’+18’=74’)

19. 如图，AB是底面半径为1的圆柱的一条母线，O为下底面中心，BC是下底面的一条切线。

(1)求证：OB⊥AC;

(2)若AC与圆柱下底面所成的角为30°，OA=2。求三棱锥A-BOC的体积。

解：(1)连结OB，由圆的切线性质有OB⊥BC，而BC是AC在底面⊙O

上的射影，∴OB⊥平面ABC，∴OB⊥AC。

(2)在RtΔOA B中，AB= .

又∵∠ACB就是AC与底面⊙O所成角， ,

20. 如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

(1)求证：直线AB1∥平面C1DB;

(2)求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值。

证明：(1)连B C交 于E，连DE,    则DE∥ ，

而DE 面C DB，  面C DB，  ∴

(2)由(1)知∠DEB为异面直线 所成的角，在

。

21. 已知：对于任意的多项式 与任意复数z，  整除 。利用上述定理解决下列问题：

(1)在复数范围内分解因式： ;

(2)求所有满足 整除 的正整数n构成的集合A。

解：(1)令 解得两个根 ，这里

所以

(2)记 。 有两个根 ，这里 ，

22. 设 ( 是正整数)，利用赋值法解决下列问题：

(1)求 ;

(2) 为偶数时，求 ;

(3) 是3的倍数时，求 。

解：令 ，

(1) ，所以

(2) ，

所以

(3)记 ，则 。当 时， ，当 时， ，

记 ， ，

，

，

则

从上到下各式分别乘以 ，求得

。即

 

23. 宇宙深处有一颗美丽的行星，这个行星是一个半径为r(r>0)的球。人们在行星表面建立了与地球表面同样的经纬度系统。已知行星表面上的A点落在北纬60°，东经30°;B点落在东经30°的赤道上;C点落在北纬60°，东经90°。在赤道上有点P满足PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离。

(1)求AC两点间的球面距离;

(2)求P点的经度;

(3)求AP两点间的球面距离。

解：设球心为O，北纬60°圈所对应的圆心为O’，

(1)那么OO’= 。O’A=O’C= 。又因为∠AO’C=60°。

所以AC= 。那么∠AOC= ( )

两点间的球面距离为 ( )

(2)PB两点间的球面距离等于AB两点间的球面距离，所以PB=AB。

可知∠POB=∠AOB=60°，又P点在赤道上。所以P点的经度为东经90°或西经30°。

(3)显然P点的两种可能对应的AP间的球面距离相等。不妨P所在的经度为东经90°。

由条件可知O’A平行OB且等于OB的一半，延长BA与OO’交于D点，那么 。而O’C平行OP且等于OP的一半，所以D、P、C共线且 。

可知AC∥BP，所以A、B、C、P共面。

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