19. 解：(1)设点 ，则依题意有 ，

整理得 ，由于 ，

所以求得的曲线C的方程为 .

(2)由 ，消去 得 ，

解得x1=0, x2= 分别为M，N的横坐标)

由

得 ，所以直线 的方程 或 .

20.解：(1)由函数f(x)图象过点(-1，-6)，得m-n=-3,

由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′(x)=3x2+2mx+n,

则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;

而g(x)图象关于y轴对称，所以- =0，所以m=-3,代入①得n=0.

于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>0得x>2或x<0,

故f(x)的单调递增区间是(-∞，0)，(2，+∞);

由f′(x)<0得0

故f(x)的单调递减区间是(0，2).

(2)解： 由 在(-1,1)上恒成立，得a≥3x2-6x对x∈(-1,1)恒成立. ∵-1

21. 解:(1)因为椭圆E: (a,b>0)过M(2， ) ，N( ,1)两点,

所以 解得 所以 椭圆E的方程为

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,

则△= ,即

, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .

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