必考Ⅱ部分(50分)

一、填空题

1.10　【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|=|PF|=yP+1=5，∴yP=4，

则|xP|=4，S△MPF=|MP||xP|=10.

二、选择题

2.B　【解析】由选择支分析可考查函数y=的单调性，而f′(x)>0且f(x)>0，则当x<0时′=<0，

即函数在(-∞，0)上单调递减，故选B.

三、解答题

3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)

列表如下：

x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞)

f′(x) - 0 + 0 -

f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减

所以：f(x)的递减区间有：(-∞，-1)，(1，+∞)，递增区间是(-1，1);

f极小值(x)=f(-1)=-2，f极大值(x)=f(1)=2.(7分)

(2)由(1)知，当0

此时fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)

当a>1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，

即当x∈[0，a]时fmax(x)=f(1)=2(12分)

综上有h(a)=(13分)

4.【解析】 (1)设函数φ(x)=xln x-x+1，则φ′(x)=ln x(1分)

则φ(x)在(0，1)上递减，在(1，+∞)上递增，(3分)

φ(x)有极小值φ(1)，也是函数φ(x)的最小值，则φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0

故xln x≥x-1.(5分)

(2)f′(x)=ex-a(6分)

①a≤0时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数，又f(0)=0，

所以此时函数有且仅有一个零点x=0;(7分)

②当a>0时，函数f(x)在(-∞，ln a)上递减，在(ln a，+∞)上递增，

函数f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)

ⅰ.当a=1时，函数的极小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0

则函数f(x)仅有一个零点x=0;(10分)

ⅱ.当0

当0

故此时f(x)?+∞，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根;

当a>1时，2ln a>ln a>0，计算f(2ln a)=a2-2aln a-1

考查函数g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ，则g′(x)=2(x-1-ln x)，

再设h(x)=x-1-ln x(x>1)，h′(x)=1-=>0

故h(x)在(1，+∞)递增，则h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0，

所以g′(x)>0，即g(x)在(1，+∞)上递增，则g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0

即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0，

则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根.

故0

综上：当a∈(-∞，0]∪{1}时，函数f(x)恰有一个零点x=0，

当a∈(0，1)∪(1，+∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)

5.【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±，

设M，N

由⊥知|y1|=，

即点在椭圆上，代入椭圆方程得b=2.(3分)

(2)当l⊥x轴时，由(1)知⊥;

当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0

则=?3m2=8(1+k2)(5分)

?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,

Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则，(7分)

x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2

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==0，即⊥.

即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥.(9分)

(2)当l⊥x轴时，易知|AB|=2=(10分)

当l不与x轴垂直时，|AB|==

=(12分)

设t=1+2k2∈[1，+∞)，∈(0，1]

则|AB|==

所以当=即k=±时|AB|取最大值2，

当=1即k=0时|AB|取最小值，

(或用导数求函数f(t)=，t∈[1，+∞)的最大值与最小值)

综上|AB|∈.(14分)

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