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高二数学试题：成都七中高二数学月考试题四

19、如图1，平面四边形关于直线对称，

．把沿折起（如图2），使二面角的余弦值

等于．对于图2，

（1）求；

（2）证明：平面；

（3）求直线与平面所成角的正弦值．

. 解：（Ⅰ）取的中点，连接，

由，得：

就是二面角的平面角， …………………2分

在中，

………………………………………4分

（Ⅱ）由，

， 又平面．………………9分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，则平面，就是与平面所成的角

．……12分

故与平面所成的角的正弦为

方法二：设点到平面的距离为，

∵

于是与平面所成角的正弦为 ．

20、如图，已知平行六面体的底面为正方形，

分别为上、下底面中心，且，

（1）求证：平面平面；

（2）若点、分别在棱、上，

且，问点在何处时，？

（3）若，求二面角的余弦值．

解（1）证明: 建立空间直角坐标系如图所示，

设底面正方形的边长为a，，

则 ，

由 ，得 平面

又平面， 平面平面 …………………4分

（2） 由（1）及，

得

设，则，

由 …………… 8分

（3）由， 从而 ，

设 是平面的一个法向量， 则

又 平面的一个法向量为

据图知二面角为锐二面角，

所以二面角的余弦值为 …12分

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