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高二数学试题：湖南师大附中高二数学试题答案

6．C【解析】△ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体A－BCD的内切球球心为O，连接OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原面为底面的四面体， 高都为r，所以有V＝3(1)(S1＋S2＋S3＋S4)r.

7．B【解析】f′(x)＝x4－4x3－12x2＝x2(x＋2)(x－6)，

所以f(x)有两个极值点x＝－2及x＝6.

8．D【解析】据椭圆的定义，由已知得|MF2|＝8，而ON是△MF1F2的中位线，故|ON|＝4.

二、填空题

9.

10．2【解析】①A＝－5＜0，②A＝－5＋2＝－3＜0，③A＝－3＋2＝－1＜0，

④A＝－1＋2＝1＞0，⑤A＝2×1＝2.

11．4n＋2【解析】第1个图案中有6块白色地面砖，第二个图案中有10块，第三个图案中有14块，归纳为：第n个图案中有4n＋2块．

12．x－y＝0

13.3(3)【解析】由题意知a(b)＝tan 30°＝3(3)?e＝a(c)＝3(3).

∵K2≈5.7>5.024，

因此，有97.5%的把握认为午休与考生及格有关系，即能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为午休与考生及格有关系．(10分)

对今后的复习的指导意义就是：在以后的复习中，考生应尽量适当午休，以保持最佳的学习状态．(11分)

(2)据题意设A1(2)1()，M(－1，yM)，(8分)

由A、M、O三点共线有1(2)1()＝－1(yM)?y1yM＝－4，(10分)

又y1y2＝－4

则y2＝yM，故直线MB平行于x轴．(12分)

必考Ⅱ部分(50分)

一、填空题

1．10【解析】设P(xP，yP)，∵|PM|＝|PF|＝yP＋1＝5，∴yP＝4，

则|xP|＝4，S△MPF＝2(1)|MP||xP|＝10.

二、选择题

2．B【解析】由选择支分析可考查函数y＝x(f（x）)的单调性，而f′(x)>0且f(x)>0，则当x<0时x(f（x）)′＝x2(xf′（x）－f（x）)<0，

即函数x(f（x）)在(－∞，0)上单调递减，故选B.

三、解答题

3．【解析】(1)f′(x)＝－3x2＋3＝－3(x＋1)(x－1)(2分)

列表如下：

x	(－∞，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	递减	极小值	递增	极大值	递减

所以：f(x)的递减区间有：(－∞，－1)，(1，＋∞)，递增区间是(－1，1)；

f极小值(x)＝f(－1)＝－2，f极大值(x)＝f(1)＝2.(7分)w w w .x k b 1.c o m

(2)由(1)知，当0< p>

此时fmax(x)＝f(a)＝－a3＋3a；(9分)

当a>1时，f(x)在(0，1)上递增，在(1，a)上递减，

即当x∈[0，a]时fmax(x)＝f(1)＝2(12分)

综上有h(a)＝2，a∈（1，＋∞）.(－a3＋3a，a∈（0，1]，)(13分)

4．【解析】 (1)设函数φ(x)＝xln x－x＋1，则φ′(x)＝ln x(1分)

则φ(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，(3分)

φ(x)有极小值φ(1)，也是函数φ(x)的最小值，则φ(x)≥φ(1)＝1×ln 1－1＋1＝0

故xln x≥x－1.(5分)

(2)f′(x)＝ex－a(6分)

①a≤0时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数，又f(0)＝0，

所以此时函数有且仅有一个零点x＝0；(7分)

②当a>0时，函数f(x)在(－∞，ln a)上递减，在(ln a，＋∞)上递增，

函数f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－1(8分)

ⅰ.当a＝1时，函数的极小值f(ln a)＝f(0)＝a－aln a－1＝0

则函数f(x)仅有一个零点x＝0；(10分)

ⅱ.当0<1或A>1时，由(1)知极小值f(ln a)＝a－aln a－1<0，又f(0)＝0

当0<1时，LN p a<0，易知x－∞时，ex0，－ax－1＋∞，<>

故此时f(x)＋∞，则f(x)还必恰有一个小于ln a的负根；

当a>1时，2ln a>ln a>0，计算f(2ln a)＝a2－2aln a－1

考查函数g(x)＝x2－2xln x－1(x>1) ，则g′(x)＝2(x－1－ln x)，

再设h(x)＝x－1－ln x(x>1)，h′(x)＝1－x(1)＝x(x－1)>0

故h(x)在(1，＋∞)递增，则h(x)>h(1)＝1－1－ln 1＝0，

所以g′(x)>0，即g(x)在(1，＋∞)上递增，则g(x)>g(1)＝12－2×1×ln 1－1＝0

即f(2ln a)＝a2－2aln a－1>0，

则f(x)还必恰有一个属于(ln a，2 ln a)的正根．

故0<1或A>1时函数f(x)都是恰有两个零点．

综上：当a∈(－∞，0]∪{1}时，函数f(x)恰有一个零点x＝0，

当a∈(0，1)∪(1，＋∞)时函数f(x)恰有两个不同零点. (13分)

5．【解析】(1)当MN⊥x轴时，MN的方程是x＝±3(8)，

设M，y1(8)，N，－y1(8)w w w .x k b 1.c o m

由→(OM)⊥→(ON)知|y1|＝3(8)，

即点3(8)在椭圆上，代入椭圆方程得b＝2.(3分)

(2)当l⊥x轴时，由(1)知→(OA)⊥→(OB)；

当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0

则1＋k2(|m|)＝3(8)?3m2＝8(1＋k2)(5分)

＝1(y2)?(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－8＝0,

Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－8)＝3(32)(4k2＋1)>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)

则1＋2k2(2m2－8)，(7分)

x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

1＋2k2(（1＋k2）（2m2－8）)－1＋2k2(4k2m2)＋m2xkb1.com

＝1＋2k2(3m2－8（1＋k2）)＝0，即→(OA)⊥→(OB).

即椭圆的内含圆x2＋y2＝3(8)的任意切线l交椭圆于点A、B时总有→(OA)⊥→(OB).(9分)

(2)当l⊥x轴时，易知|AB|＝23(8)＝3(6)(10分)

当l不与x轴垂直时，|AB|＝＝（1＋2k2）2(（4k2＋1）)

＝3(6)（1＋2k2）2(（1＋k2）·（4k2＋1）)(12分)

设t＝1＋2k2∈[1，＋∞)，t(1)∈(0，1]

则|AB|＝3(6)2t2(2t2＋t－1)＝3(6)8(9)

所以当t(1)＝2(1)即k＝±2(2)时|AB|取最大值2，

当t(1)＝1即k＝0时|AB|取最小值3(6)，

(或用导数求函数f(t)＝2t2(2t2＋t－1)，t∈[1，＋∞)的最大值与最小值)

综上|AB|∈3(6).(14分)

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