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高二数学试题：2014年高二数学期末试题答案二

一、选择题

1.D【解析】由图像可知f(x)在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f(2a＋b)<1即2a＋b<4，原题等价于

，求a＋1(b＋1)的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得a＋1(b＋1)∈，5(1).

二、填空题

2.－1【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k的方程求解.

f′(x)＝(x＋k)(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋2k)(x－3k)＋x(x＋k)(x－3k)＋x(x＋k)(x＋2k)

故f′(0)＝－6k3，又f′(0)＝6，故k＝－1.

三、解答题

3.解：(1)设投放B型电视机的金额为x万元，则投放A型电视机的金额为(10－x)万元，农民得到的总补贴f(x)＝10(1)(10－x)＋mln(x＋1)＝mln(x＋1)－10(x)＋1，(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)

(2)f′(x)＝x＋1(m)－10(1)＝x＋1(x＋1)＝x＋1(10m－1])，

令y′＝0，得x＝10m－1(8分)

1°若10m－1≤1即0＜m≤5(1)，则f(x)在[1,9]为减函数，当x＝1时，f(x)有最大值；新课 标第 一 网

2°若1＜10m－1＜9即5(1)<1，则F(X)在[1,10M－1)是增函数，在(10M－1,9]是减函数，当X＝10M－1时，F(X)有最大值；< p>

3°若10m－1≥9即m≥1，则f(x)在[1,9]是增函数，当x＝9时，f(x)有最大值.

因此，当0＜m≤5(1)时，投放B型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.

当5(1)<1时，投放B型电视机(10M－1)万元，农民得到的总补贴最大；< p>

当m≥1时，投放B型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)

4.解：(1)依题意，得a＝2，e＝a(c)＝2(3)，∴c＝，b＝＝1；

故椭圆C的方程为4(x2)＋y2＝1.(3分)

(2)方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M(x1，y1)，N(x1，－y1)，不妨设y1>0.

由于点M在椭圆C上，

所以y1(2)＝1－1().(*)(4分)

由已知T(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)，＝(x1＋2，－y1)，

∴·＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y1(2)＝(x1＋2)2－1()＝4(5)x1(2)＋4x1＋3

方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，

不妨设sin θ>0，由已知T(－2,0)，则

·＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin2θ＝5cos2θ＋8cos θ＋3＝55(4)2－5(1).(6分)

故当cos θ＝－5(4)时，·取得最小值为－5(1)，此时M5(3)，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到r2＝25(13).

故圆T的方程为：(x＋2)2＋y2＝25(13).(8分)

(3)方法一：设P(x0，y0)，则直线MP的方程为：

y－y0＝x0－x1(y0－y1)(x－x0)，

令y＝0，得xR＝y0－y1(x1y0－x0y1)，同理：xS＝y0＋y1(x1y0＋x0y1)，(10分)

故xR·xS＝1(2)(**)(11分)

又点M与点P在椭圆上，故x0(2)＝4(1－y0(2))，x1(2)＝4(1－y1(2))，(12分)

代入(**)式，得：xR·xS＝1(2)＝1(2)＝4.

所以·＝·＝＝4为定值.(13分)

方法二：设M(2cos θ，sin θ)，N(2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P(2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP的方程为：y－sin α＝2cos α－2cos θ(sin α－sin θ)(x－2cos α)，

令y＝0，得xR＝sin α－sin θ(sin αcos θ－cos αsin θ)，

同理：xS＝sin α＋sin θ(sin αcos θ＋cos αsin θ)，(12分)

故xR·xS＝sin2α－sin2θ(sin2αcos2θ－cos2αsin2θ)＝sin2α－sin2θ(sin2α－sin2θ)＝4.

所以·＝·＝＝4为定值.(13分)

5.解：(1)f的反函数g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1与g(x)＝ln x相切于点P(x0，y0)，则

?x0＝e2，k＝e－2.所以k＝e－2.(3分)

(2)当x>0，m>0时，曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)的公共点个数

即方程f(x)＝mx2根的个数.

由f(x)＝mx2?m＝x2(ex)，令v(x)＝x2(ex)?v′(x)＝x4(x－2)，

则v(x)在(0,2)上单调递减，这时v(x)∈(v(2)，＋∞)；

v(x)在(2，＋∞)上单调递增，这时v(x)∈(v(2)，＋∞).v(2)＝4(e2).

v(2)是y＝v(x)的极小值，也是最小值.(5分)

所以对曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m>0)公共点的个数，讨论如下：

当m∈4(e2)时，有0个公共点；

当m＝4(e2)时，有1个公共点；

当m∈，＋∞(e2)时有2个公共点；(8分)

(3)令F(x)＝x2h(x)，则F′(x)＝x2h′(x)＋2xh＝x(ex)

所以h＝x2(x)，故h′＝x4(x)＝x3(x)＝x3(x)

令G(x)＝ex－2F(x)，则G′(x)＝ex－2F′(x)＝ex－2·x(ex)＝x(x－2)

显然，当0<2时，G′(X)<0，G(X)单调递减；< p>

当x>2时，G′(x)>0，G(x)单调递增；

所以，在(0，＋∞)范围内，G(x)在x＝2处取得最小值G(2)＝0.

即x>0时，ex－2F(x)≥0.

故在(0，＋∞)内，h′(x)≥0，

所以h(x)在(0，＋∞)单调递增，

又因为h(2)＝8(2)＝8(e2)>8(7)，h(2)< p>

所以h(e)>8(7).(14分)

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