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高二数学试题：2014年高二数学期末试题答案一

又∵函数f(x)在[－4,5]上连续.

∴f(x)在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)

∴f(x)的最大值是54，f(x)的最小值是－54.(11分)

15.解：(1)a1＝2(3)，a2＝4(7)，a3＝8(15)，….猜测an＝2－2n(1)(5分)

(2)①由(1)已得当n＝1时，命题成立；(7分)

②假设n＝k时，命题成立，即ak＝2－2k(1)，(8分)

当n＝k＋1时，a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，

且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak

∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3，

∴2ak＋1＝2＋2－2k(1)，ak＋1＝2－2k＋1(1)，

即当n＝k＋1时，命题成立.(11分)

根据①②得n∈N＋时，an＝2－2n(1)都成立.(12分)

16.(1)证明：由AC＝AB＝BC，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.

又BC∥AD，因此AE⊥AD.

因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE.

而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD＝A，

所以AE⊥平面PAD.又PD?平面PAD，

所以AE⊥PD.(5分)

(2)解：因为AH⊥PD，

由(1)知AE⊥平面PAD，

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中，AE＝，

此时tan∠EHA＝AH(AE)＝AH(3)＝2(6)，

在Rt△AOE中，EO＝AE·sin 30°＝2(3)，AO＝AE·cos 30°＝2(3)，

又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO＝AO·sin 45°＝4(2)，

又SE＝＝8(9)＝4(30)，

在Rt△ESO中，cos∠ESO＝SE(SO)＝4(30)＝5(15)，

即所求二面角的余弦值为5(15).(12分)

解法二：由(1)知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，所以

A(0,0,0)，B(，－1,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(，0,0)，

F，1(1)，

所以＝(，0,0)，

＝，1(1).

所以cos〈m，〉＝BD(BD)＝12(2×3)＝5(15).

因为二面角E－AF－C为锐角，所以所求二面角的余弦值为5(15).(12分)

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