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本文题目：高二数学课后练习题：独立重复试验与二项分布

选修2-32.2.3独立重复试验与二项分布

一、选择题

1.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，A发生k次的概率为(　　)

A.1-pk

B.(1-p)kpn-k

C.(1-p)k

D.Ckn(1-p)kpn-k

[答案]　D

[解析]　在n次独立重复试验中，事件A恰发生k次，符合二项分布，而P(A)=p，则P(A)=1-p，故P(X=k)=Ckn(1-p)kpn-k，故答案选D.

2.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为(　　)

A.13　　　 B.25

C.56　　　 D.34

[答案]　A

[解析]　事件A在一次试验中发生的概率为p，由题意得1-C04p0(1-p)4=6581，所以1-p=23，p=13，故答案选A.

3.流星穿过大气层落在地面上的概率为0.002，流星数为10的流星群穿过大气层有4个落在地面上的概率为(　　)

A.3.32×10-5 B.3.32×10-9

C.6.64×10-5 D.6.64×10-9

[答案]　B

[解析]　相当于1个流星独立重复10次，其中落在地面上的有4次的概率P=C410×0.0024×(1-0.002)6≈3.32×10-9，应选B.

4.已知随机变量X服从二项分布，X～B6，13，则P(X=2)等于(　　)

A.316 B.4243

C.13243 D.80243

[答案]　D

[解析]　已知X～B6，13，P(X=k)=Cknpk(1-p)n-k，当X=2，n=6，p=13时有P(X=2)=C26×132×1-136-2=C26×132×234=80243.

5.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(　　)

A.16625 B.96625

C.192625 D.256625

[答案]　B

[解析]　P=C24452152=96625.

6.某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ=3)=(　　)

A.C23142×34 B.C23342×14

C.142×34 D.342×14

[答案]　C

7.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.则他恰好击中目标3次的概率为(　　)

A.0.93×0.1

B.0.93

C.C34×0.93×0.1

D.1-0.13

[答案]　C

[解析]　由独立重复试验公式可知选C.

8.(2010•保定高二期末)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位;移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是(　　)

A.(12)5 B.C25(12)5

C.C35(12)3 D.C25C35(12)5

[答案]　B

[解析]　由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P必须向右移动二次，向上移动三次，故其概率为C35(12)3(12)2=C35(12)5=C25(12)5.

二、填空题

9.已知随机变量X～B(5，13)，则P(X≥4)=________.

[答案]　11243

10.下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________.

①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数;

②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ;

③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M

④有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数.

[答案]　①③

[解析]　对于①，设事件A为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，P(A)=13.而在n次独立重复试验中事件A恰好发生了k次(k=0,1,2，……，n)的概率P(ξ=k)=Ckn×13k×23n-k，符合二项分布的定义，即有ξ～B(n，13).

对于②，ξ的取值是1,2,3，……，P(ξ=k)=0.9×0.1k-1(k=1,2,3，……n)，显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布.

③和④的区别是：③是“有放回”抽取，而④是“无放回”抽取，显然④中n次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于③有ξ～Bn，MN.

故应填①③.

11.(2010•湖北文，13)一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答).

[答案]　0.9477

[解析]　本题主要考查二项分布.

C34•0.93•0.1+(0.9)4=0.9477.

12.如果X～B(20，p)，当p=12且P(X=k)取得最大值时，k=________.

[答案]　10

[解析]　当p=12时，P(X=k)=Ck2012k•1220-k

=1220•Ck20，显然当k=10时，P(X=k)取得最大值.

三、解答题

13.在一次测试中，甲、乙两人独立解出一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率是0.36，写出解出该题人数X的分布列.

[解析]　设甲、乙独立解出该题的概率为x，由题意1-(1-x)2=0.36，解得x=0.2.

所以解出该题人数X的分布列为

X 0 1 2

P 0.64 0.32 0.04

14.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少?(精确到0.01)

[解析]　10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X～B(10,0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X=9)=C910×0.99×0.11≈0.39.

15.9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列.

[解析]　因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=18，所以一个坑不需要补种的概率为1-18=78.

3个坑都不需要补种的概率为

C03×180•783≈0.670，

恰有1个坑需要补种的概率为

C13×181×782≈0.287，

恰有2个坑需要补种的概率为

C23×182×781≈0.041，

3个坑都需要补种的概率为

C33×183×780≈0.002.

补种费用X的分布列为

X 0 10 20 30

P 0.670 0.287 0.041 0.002

16.(2010•全国Ⅰ理，18)投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审，则予以录用;若两位初审专家都未予通过，则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.

(1)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;

(2)记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X的分布列.

[分析]　本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识，以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想.(1)“稿件被录用”这一事件转化为事件“稿件能通过两位初审专家的评审”和事件“稿件能通过复审专家的评审”的和事件，利用加法公式求解.(2)X服从二项分布，结合公式求解即可.

[解析]　(1)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审;

B表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审;

C表示事件：稿件能通过复审专家的评审;

D表示事件：稿件被录用.

则D=A+B•C，

而P(A)=0.5×0.5=0.25，P(B)=2×0.5×0.5=0.5，P(C)=0.3

故P(D)=P(A+B•C)=P(A)+P(B)•P(C)=0.25+0.5×0.3=0.4.

(2)随机变量X服从二项分布，即X～B(4,0.4)，

X的可能取值为0,1,2,3,4，且P(X=0)=(1-0.4)4=0.1296

P(X=1)=C14×0.4×(1-0.4)3=0.3456

P(X=2)=C24×0.42×(1-0.4)2=0.3456

P(X=3)=C34×0.43×(1-0.4)=0.1536

P(X=4)=0.44=0.0256

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