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本文题目：高二数学课后练习题：导数的几何意义

选修2-2 1.1 第3课时 导数的几何意义

一、选择题

1.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0，那么(　　)

A.f′(x0)>0　　　　　　 B.f′(x0)<0

C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在

[答案]　B

[解析]　切线x+2y-3=0的斜率k=-12，即f′(x0)=-12<0.故应选B.

2.曲线y=12x2-2在点1，-32处切线的倾斜角为(　　)

A.1 B.π4

C.54π D.-π4

[答案]　B

[解析]　∵y′=limΔx→0 [12(x+Δx)2-2]-(12x2-2)Δx

=limΔx→0 (x+12Δx)=x

∴切线的斜率k=y′|x=1=1.

∴切线的倾斜角为π4，故应选B.

3.在曲线y=x2上切线的倾斜角为π4的点是(　　)

A.(0,0) B.(2,4)

C.14，116 D.12，14

[答案]　D

[解析]　易求y′=2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为π4，则2x0=1，∴x0=12，∴P12，14.

4.曲线y=x3-3x2+1在点(1，-1)处的切线方程为(　　)

A.y=3x-4 B.y=-3x+2

C.y=-4x+3 D.y=4x-5

[答案]　B

[解析]　y′=3x2-6x，∴y′|x=1=-3.

由点斜式有y+1=-3(x-1).即y=-3x+2.

5.设f(x)为可导函数，且满足limx→0 f(1)-f(1-2x)2x=-1，则过曲线y=f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)

A.2　　　　 B.-1

C.1　　　　 D.-2

[答案]　B

[解析]　limx→0 f(1)-f(1-2x)2x=limx→0 f(1-2x)-f(1)-2x

=-1，即y′|x=1=-1，

则y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为-1，故选B.

6.设f′(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)

A.不存在 B.与x轴平行或重合

C.与x轴垂直 D.与x轴斜交

[答案]　B

[解析]　由导数的几何意义知B正确，故应选B.

7.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8，则f(5)及f′(5)分别为(　　)

A.3,3 B.3，-1

C.-1,3 D.-1，-1

[答案]　B

[解析]　由题意易得：f(5)=-5+8=3，f′(5)=-1，故应选B.

8.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则P点的坐标为(　　)

A.(1,0)或(-1，-4) B.(0,1)

C.(-1,0) D.(1,4)

[答案]　A

[解析]　∵f(x)=x3+x-2，设xP=x0，

∴Δy=3x20•Δx+3x0•(Δx)2+(Δx)3+Δx，

∴ΔyΔx=3x20+1+3x0(Δx)+(Δx)2，

∴f′(x0)=3x20+1，又k=4，

∴3x20+1=4，x20=1.∴x0=±1，

故P(1,0)或(-1，-4)，故应选A.

9.设点P是曲线y=x3-3x+23上的任意一点，P点处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为(　　)

A.0，π2∪23π，π B.0，π2∪56π，π

C.23π，π D.π2，56π

[答案]　A

[解析]　设P(x0，y0)，

∵f′(x)=limΔx→0 (x+Δx)3-3(x+Δx)+23-x3+3x-23Δx

=3x2-3，∴切线的斜率k=3x20-3，

∴tanα=3x20-3≥-3.

∴α∈0，π2∪23π，π.故应选A.

10.(2010•福州高二期末)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，则点P横坐标的取值范围为(　　)

A.[-1，-12] B.[-1,0]

C.[0,1] D.[12，1]

[答案]　A

[解析]　考查导数的几何意义.

∵y′=2x+2，且切线倾斜角θ∈[0，π4]，

∴切线的斜率k满足0≤k≤1，即0≤2x+2≤1，

∴-1≤x≤-12.

二、填空题

11.已知函数f(x)=x2+3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为________.

[答案]　4x-y-1=0

[解析]　∵f(x)=x2+3，x0=2

∴f(2)=7，Δy=f(2+Δx)-f(2)=4•Δx+(Δx)2

∴ΔyΔx=4+Δx.∴limΔx→0 ΔyΔx=4.即f′(2)=4.

又切线过(2,7)点，所以f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y-7=4(x-2)

即4x-y-1=0.

12.若函数f(x)=x-1x，则它与x轴交点处的切线的方程为________.

[答案]　y=2(x-1)或y=2(x+1)

[解析]　由f(x)=x-1x=0得x=±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(-1,0).

∵f′(x)=limΔx→0 (x+Δx)-1x+Δx-x+1xΔx

=limΔx→0 1+1x(x+Δx)=1+1x2.

∴切线的斜率k=1+11=2.

∴切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1).

13.曲线C在点P(x0，y0)处有切线l，则直线l与曲线C的公共点有________个.

[答案]　至少一

[解析]　由切线的定义，直线l与曲线在P(x0，y0)处相切，但也可能与曲线其他部分有公共点，故虽然相切，但直线与曲线公共点至少一个.

14.曲线y=x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为________.

[答案]　3x-y-11=0

[解析]　设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为 ，它是x0的函数，求出其最小值.

设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k= =3x20+6x0+6=3(x0+1)2+3.当x0=-1时k有最小值3，此时P的坐标为(-1，-14)，其切线方程为3x-y-11=0.

三、解答题

15.求曲线y=1x-x上一点P4，-74处的切线方程.

[解析]　∴y′=limΔx→0 1x+Δx-1x-(x+Δx-x)Δx

=limΔx→0 -Δxx(x+Δx)-Δxx+Δx+xΔx

=limΔx→0 -1x(x+Δx)-1x+Δx+x=-1x2-12x .

∴y′|x=4=-116-14=-516，

∴曲线在点P4，-74处的切线方程为：

y+74=-516(x-4).

即5x+16y+8=0.

16.已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1，-2)，过点P作直线l.

(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;

(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).

[解析]　(1)y′=limΔx→0 (x+Δx)3-3(x+Δx)-3x3+3xΔx=3x2-3.

则过点P且以P(1，-2)为切点的直线的斜率

k1=f′(1)=0，

∴所求直线方程为y=-2.

(2)设切点坐标为(x0，x30-3x0)，

则直线l的斜率k2=f′(x0)=3x20-3，

∴直线l的方程为y-(x30-3x0)=(3x20-3)(x-x0)

又直线l过点P(1，-2)，

∴-2-(x30-3x0)=(3x20-3)(1-x0)，

∴x30-3x0+2=(3x20-3)(x0-1)，

解得x0=1(舍去)或x0=-12.

故所求直线斜率k=3x20-3=-94，

于是：y-(-2)=-94(x-1)，即y=-94x+14.

17.求证：函数y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.

[解析]　y′=limΔx→0 f(x+Δx)-f(x)Δx

=limΔx→0 x+Δx+1x+Δx-x+1xΔx

=limΔx→0 x•Δx(x+Δx)-Δx(x+Δx)•x•Δx

=limΔx→0 (x+Δx)x-1(x+Δx)x

=x2-1x2=1-1x2<1，

∴y=x+1x图象上的各点处的切线斜率小于1.

18.已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程;

(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积.

[解析]　(1)y′|x=1

=limΔx→0 (1+Δx)2+(1+Δx)-2-(12+1-2)Δx=3，

所以l1的方程为：y=3(x-1)，即y=3x-3.

设l2过曲线y=x2+x-2上的点B(b，b2+b-2)，

y′|x=b=limΔx→0 (b+Δx)2+(b+Δx)-2-(b2+b-2)Δx

=2b+1，所以l2的方程为：y-(b2+b-2)=(2b+1)•(x-b)，即y=(2b+1)x-b2-2.

因为l1⊥l2，所以3×(2b+1)=-1，所以b=-23，所以l2的方程为：y=-13x-229.

(2)由y=3x-3，y=-13x-229，得x=16，y=-52，

即l1与l2的交点坐标为16，-52.

又l1，l2与x轴交点坐标分别为(1,0)，-223，0.

所以所求三角形面积S=12×-52×1+223=12512.

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