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本文题目：高二数学课后练习题：函数的极值与导数

选修2-2 1.3.2 函数的极值与导数

一、选择题

1.已知函数f(x)在点x0处连续，下列命题中，正确的是(　　)

A.导数为零的点一定是极值点

B.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极小值

C.如果在点x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值

D.如果在点x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极大值

[答案]　C

[解析]　导数为0的点不一定是极值点，例如f(x)=x3，f′(x)=3x2，f′(0)=0，但x=0不是f(x)的极值点，故A错;由极值的定义可知C正确，故应选C.

2.函数y=1+3x-x3有(　　)

A.极小值-2，极大值2

B.极小值-2，极大值3

C.极小值-1，极大值1

D.极小值-1，极大值3

[答案]　D

[解析]　y′=3-3x2=3(1-x)(1+x)

令y′=0，解得x1=-1，x2=1

当x<-1时，y′<0，函数y=1+3x-x3是减函数，

当-10，函数y=1+3x-x3是增函数，

当x>1时，y′<0，函数y=1+3x-x3是减函数，

∴当x=-1时，函数有极小值，y极小=-1.

当x=1时，函数有极大值，y极大=3.

3.设x0为f(x)的极值点，则下列说法正确的是(　　)

A.必有f′(x0)=0

B.f′(x0)不存在

C.f′(x0)=0或f′(x0)不存在

D.f′(x0)存在但可能不为0

[答案]　C

[解析]　如：y=|x|，在x=0时取得极小值，但f′(0)不存在.

4.对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[答案]　C

[解析]　只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件.

5.对于函数f(x)=x3-3x2，给出命题：

①f(x)是增函数，无极值;

②f(x)是减函数，无极值;

③f(x)的递增区间为(-∞，0)，(2，+∞)，递减区间为(0,2);

④f(0)=0是极大值，f(2)=-4是极小值.

其中正确的命题有(　　)

A.1个　　　　　　　　 B.2个

C.3个 D.4个

[答案]　B

[解析]　f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，令f′(x)<0，得0

6.函数f(x)=x+1x的极值情况是(　　)

A.当x=1时，极小值为2，但无极大值

B.当x=-1时，极大值为-2，但无极小值

C.当x=-1时，极小值为-2;当x=1时，极大值为2

D.当x=-1时，极大值为-2;当x=1时，极小值为2

[答案]　D

[解析]　f′(x)=1-1x2，令f′(x)=0，得x=±1，

函数f(x)在区间(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增，在(-1,0)和(0,1)上单调递减，

∴当x=-1时，取极大值-2，当x=1时，取极小值2.

7.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

[答案]　A

[解析]　由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点.

8.已知函数y=x-ln(1+x2)，则函数y的极值情况是(　　)

A.有极小值

B.有极大值

C.既有极大值又有极小值

D.无极值

[答案]　D

[解析]　∵y′=1-11+x2(x2+1)′

=1-2xx2+1=(x-1)2x2+1

令y′=0得x=1，当x>1时，y′>0，

当x<1时，y′>0，

∴函数无极值，故应选D.

9.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)

A.极大值为427，极小值为0

B.极大值为0，极小值为427

C.极大值为0，极小值为-427

D.极大值为-427，极小值为0

[答案]　A

[解析]　由题意得，f(1)=0，∴p+q=1①

f′(1)=0，∴2p+q=3②

由①②得p=2，q=-1.

∴f(x)=x3-2x2+x，f′(x)=3x2-4x+1

=(3x-1)(x-1)，

令f′(x)=0，得x=13或x=1，极大值f13=427，极小值f(1)=0.

10.下列函数中，x=0是极值点的是(　　)

A.y=-x3 B.y=cos2x

C.y=tanx-x D.y=1x

[答案]　B

[解析]　y=cos2x=1+cos2x2，y′=-sin2x，

x=0是y′=0的根且在x=0附近，y′左正右负，

∴x=0是函数的极大值点.

二、填空题

11.函数y=2xx2+1的极大值为______，极小值为______.

[答案]　1 -1

[解析]　y′=2(1+x)(1-x)(x2+1)2，

令y′>0得-11或x<-1，

∴当x=-1时，取极小值-1，当x=1时，取极大值1.

12.函数y=x3-6x+a的极大值为____________，极小值为____________.

[答案]　a+42　a-42

[解析]　y′=3x2-6=3(x+2)(x-2)，

令y′>0，得x>2或x<-2，

令y′<0，得-2

∴当x=-2时取极大值a+42，

当x=2时取极小值a-42.

13.已知函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1处有极大值，在x=3处有极小值，则a=______，b=________.

[答案]　-3 -9

[解析]　y′=3x2+2ax+b，方程y′=0有根-1及3，由韦达定理应有

14.已知函数f(x)=x3-3x的图象与直线y=a有相异三个公共点，则a的取值范围是________.

[答案]　(-2,2)

[解析]　令f′(x)=3x2-3=0得x=±1，

可得极大值为f(-1)=2，极小值为f(1)=-2，

y=f(x)的大致图象如图

观察图象得-2

三、解答题

15.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11.

(1)写出函数f(x)的递减区间;

(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值.

[解析]　f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3)，

令f′(x)=0，得x1=-1，x2=3.

x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：

x (-∞，-1) -1 (-1,3) 3 (3，+∞)

f′(x) + 0 - 0 +

f(x) 增 极大值

f(-1) 减 极小值

f(3) 增

(1)由表可得函数的递减区间为(-1,3);

(2)由表可得，当x=-1时，函数有极大值为f(-1)=16;当x=3时，函数有极小值为f(3)=-16.

16.设函数f(x)=ax3+bx2+cx，在x=1和x=-1处有极值，且f(1)=-1，求a、b、c的值，并求出相应的极值.

[解析]　f′(x)=3ax2+2bx+c.

∵x=±1是函数的极值点，∴-1、1是方程f′(x)=0的根，即有

又f(1)=-1，则有a+b+c=-1，

此时函数的表达式为f(x)=12x3-32x.

∴f′(x)=32x2-32.

令f′(x)=0，得x=±1.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

x (-∞，-1) -1 (-1,1) 1 (1，+∞)

f′(x) + 0 - 0 +

f(x) ? 极大

值1 ? 极小

值-1 ?

由上表可以看出，当x=-1时，函数有极大值1;当x=1时，函数有极小值-1.

17.已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.

(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值;

(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线方程.

[解析]　(1)f′(x)=3ax2+2bx-3，依题意，

f′(1)=f′(-1)=0，即

解得a=1，b=0.

∴f(x)=x3-3x，

f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

令f′(x)=0，得x1=-1，x2=1.

若x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，则f′(x)>0，故

f(x)在(-∞，-1)上是增函数，

f(x)在(1，+∞)上是增函数.

若x∈(-1,1)，则f′(x)<0，故

f(x)在(-1,1)上是减函数.

∴f(-1)=2是极大值;f(1)=-2是极小值.

(2)曲线方程为y=x3-3x.点A(0,16)不在曲线上.

设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0=x30-3x0.

∵f′(x0)=3(x20-1)，故切线的方程为

y-y0=3(x20-1)(x-x0).

注意到点A(0,16)在切线上，有

16-(x30-3x0)=3(x20-1)(0-x0).

化简得x30=-8，解得x0=-2.

∴切点为M(-2，-2)，

切线方程为9x-y+16=0.

18.(2010•北京文，18)设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0)，且方程f′(x)-9x=0的两个根分别为1,4.

(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时，求f(x)的解析式;

(2)若f(x)在(-∞，+∞)内无极值点，求a的取值范围.

[解析]　本题考查了函数与导函数的综合应用.

由f(x)=a3x3+bx2+cx+d得f′(x)=ax2+2bx+c

∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两根为1,4.

(1)当a=3时，由(*)式得 ，

解得b=-3，c=12.

又∵曲线y=f(x)过原点，∴d=0.

故f(x)=x3-3x2+12x.

(2)由于a>0，所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-∞，+∞)内无极值点”等价于“f ′(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞，+∞)内恒成立”

由(*)式得2b=9-5a，c=4a.

又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)

解 得a∈[1,9]，

即a的取值范围[1,9].

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