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本文题目：高二数学课后练习题：复数代数形式的乘除运算

选修2-2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算

一、选择题

1.(2010•安徽理，1)i是虚数单位，i3+3i=(　　)

A.14-312i

B.14+312i

C.12+36i

D.12-36i

[答案]　B

[解析]　i3+3i=i(3-3i)(3+3i)(3-3i)

=3+3i12=14+312i，故选B.

2.在复平面内，复数z=i(1+2i)对应的点位于(　　)

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

[答案]　B

[解析]　考查复数的运算.

z=-2+i，对应点位于第二象限，

∴选B.

3.已知z是纯虚数，z+21-i是实数，那么z等于(　　)

A.2i

B.i

C.-i

D.-2i

[答案]　D

[解析]　本小题主要考查复数的运算.

设z=bi(b∈R)，则z+21-i=2+bi1-i=2-b2+b+22i，

∴b+22=0，∴b=-2，

∴z=-2i，故选D.

4.i是虚数单位，若1+7i2-i=a+bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是(　　)

A.-15

B.-3

C.3

D.15

[答案]　B

[解析]　本题考查复数的概念及其简单运算.

1+7i2-i=(1+7i)(2+i)(2-i)(2+i)=-5+15i5=-1+3i=a+bi，

∴a=-1，b=3，∴ab=-3.

5.设z是复数，a(z)表示满足zn=1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)=(　　)

A.8

B.6

C.4

D.2

[答案]　C

[解析]　考查阅读理解能力和复数的概念与运算.

∵a(z)表示使zn=1的最小正整数n.

又使in=1成立的最小正整数n=4，∴a(i)=4.

6.已知复数z的实部为-1，虚部为2，则5iz=(　　)

A.2-i

B.2+i

C.-2-i

D.-2+i

[答案]　A

[解析]　考查复数的运算.

z=-1+2i，则5i-1+2i=5i(-1-2i)(-1+2i)(-1-2i)

=10-5i5=2-i.

7.设a，b∈R且b≠0，若复数(a+bi)3是实数，则(　　)

A.b2=3a2

B.a2=3b2

C.b2=9a2

D.a2=9b2

[答案]　A

[解析]　本小题主要考查复数的运算.

(a+bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i

=a3-3ab2+(3a2b-b3)i，

∴3a2b-b3=0，∴3a2=b2，故选A.

8.设z的共轭复数是z，若z+z=4，z•z=8，则zz等于(　　)

A.i

B.-i

C.±1

D.±i

[答案]　D

[解析]　本题主要考查复数的运算.

设z=a+bi(a，b∈R)，则z=a-bi，

由z+z=4，z z=8得2a=4a2+b2=8∴a=2b=±2

∴z=2+2i，z=2-2i或z=2-2i，z=2+2i，zz=2-2i2+2i=-i或zz=2+2i2-2i=i.∴zz=±i，故选D.

9.(2010•新课标全国理，2)已知复数z=3+i(1-3i)2，z-是z的共轭复数，则z•z-=(　　)

A.14

B.12

C.1

D.2

[答案]　A

[解析]　∵z=3+i(1-3i)2=3+i1-23i-3=3+i-2-23i

=3+i-2(1+3i)=(3+i)(1-3i)-2×(1+3)

=3-3i+i+3-8=23-2i-8=3-i-4，∴z-=3+i-4，

∴z•z-=|z|2=14，故选A.

10.定义运算a　bc　d=ad-bc，则符合条件1　-1z　　zi=4+2i的复数z为(　　)

A.3-i

B.1+3i

C.3+i

D.1-3i

[答案]　A

[解析]　由定义得1　-1z　　zi=zi+z=z(1+i)=4+2i

∴z=4+2i1+i=3-i.

故应选A.

二、填空题

11.1+i1-i表示为a+bi(a，b∈R)，则a+b=________.

[答案]　1

[解析]　本小题考查复数的除法运算.

∵1+i1-i=(1+i)22=i，∴a=0，b=1.

因此a+b=1.

12.若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位)，则z=________.

[答案]　1+i

[解析]　本题主要考查复数的运算.

∵z=i(2-z)，∴z=2i1+i=1+i.

13.关于x的不等式mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-1,2)，则复数m+pi所对应的点位于原复平面内的第________象限.

[答案]　二

[解析]　∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-1，2)，∴m<0(-1)+2=nm(-1)×2=pm，即m<0，p>0.

故复数m+pi所对应的点位于复平面内的第二象限.

14.若z1=a+2i，z2=3-4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________.

[答案]　83

[解析]　设z1z2=bi(b∈R且b≠0)，∴z1=bi(z2)，即a+2i=bi(3-4i)=4b+3bi.∴a=4b2=3b⇒a=83.

三、解答题

15.计算：

(1)-23+i1+23i+21+i2000+1+i3-i;

(2)1+in+i2n+…+i2000n(n∈N).

[解析]　(1)原式=-23+i-i(-23+i)+(-i)100+1+i3-i

=i+1+15+25i=65+75i.

(2)当n=4k(k∈N)时，原式=1+1+…+1 2001=2001.

当n≠4k(k∈N)时，

原式=1-i2001n1-in=1-i2000n•in1-in=1-in1-in=1.

16.已知复数z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i，ω=z+ai(a∈R)，当ωz≤2时，求a的取值范围.

[解析]　z=(-1+3i)(1-i)-(1+3i)i

=(2+4i)-(1+3i)i=1+ii=-i(1+i)1=1-i

∵ω=z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i

∴ωz=1+(a-1)i1-i=[1+(a-1)i](1+i)2=2-a+ai2

∴ωz=(2-a)2+a22≤2

∴a2-2a-2≤0，∴1-3≤a≤1+3

故a的取值范围是[1-3，1+3].

17.已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b，c∈R).

(1)求b，c的值;

(2)试证明1-i也是方程的根.

[解析]　(1)∵1+i是方程x2+bx+c=0的根

∴(1+i)2+b(1+i)+c=0

即b+c+(2+b)i=0

∴b+c=02+b=0解得b=-2c=2.

(2)由(1)知方程为x2-2x+2=0

把1-i代入方程左边得

左边=(1-i)2-2(1-i)+2=0=右边，即方程成立

∴1-i也是方程的根.

18.已知ω=z+i(z∈C)，z-2z+2是纯虚数，又|ω+1|2+|ω-1|2=16，求ω.

[解析]　设z=a+bi(a，b∈R)

∴z-2z+2=(a-2)+bi(a+2)+bi=(a2+b2-4)+4bi(a+2)2+b2

由z-2z+2是纯虚数得a2+b2=4b≠0　①

∴|ω+1|2+|ω-1|2=|z+i+1|2+|z+i-1|2

=|a+bi+i+1|2+|a+bi+i-1|2

=|(a+1)+(b+1)i|2+|(a-1)2+(b+1)i|2

=(a+1)2+(b+1)2+(a-1)2+(b+1)2

=2(a2+b2)+4+4b=8+4+4b=12+4b=16，

∴b=1，

将b=1代入①得a=±3.

∴z=±3+i，ω=±3+2i.

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