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本文题目：高二数学课后练习题：归纳推理综合

选修2-2 2.1.1 第1课时 归纳推理

一、选择题

1.关于归纳推理，下列说法正确的是(　　)

A.归纳推理是一般到一般的推理

B.归纳推理是一般到个别的推理

C.归纳推理的结论一定是正确的

D.归纳推理的结论是或然性的

[答案]　D

[解析]　归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定.故应选D.

2.下列推理是归纳推理的是(　　)

A.A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆

B.由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C.由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2+y2b2=1的面积S=πab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

[答案]　B

[解析]　由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B.

3.数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)

A.28

B.32

C.33

D.27

[答案]　B

[解析]　因为5-2=3×1,11-5=6=3×2,20-11=9=3×3，猜测x-20=3×4,47-x=3×5，推知x=32.故应选B.

4.在数列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，则猜想an是(　　)

A.2n-2-12

B.2n-2

C.2n-1+1

D.2n+1-4

[答案]　B

[解析]　∵a1=0=21-2，

∴a2=2a1+2=2=22-2，

a3=2a2+2=4+2=6=23-2，

a4=2a3+2=12+2=14=24-2，

……

猜想an=2n-2.

故应选B.

5.某人为了观看2012年奥运会，从2005年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2012年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为(　　)

A.a(1+p)7

B.a(1+p)8

C.ap[(1+p)7-(1+p)]

D.ap[(1+p)8-(1+p)]

[答案]　D

[解析]　到2006年5月10日存款及利息为a(1+p).

到2007年5月10日存款及利息为

a(1+p)(1+p)+a(1+p)=a[(1+p)2+(1+p)]

到2008年5月10日存款及利息为

a[(1+p)2+(1+p)](1+p)+a(1+p)

=a[(1+p)3+(1+p)2+(1+p)]

……

所以到2012年5月10日存款及利息为

a[(1+p)7+(1+p)6+…+(1+p)]

=a(1+p)[1-(1+p)7]1-(1+p)

=ap[(1+p)8-(1+p)].

故应选D.

6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2an(n≥2)，而a1=1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于(　　)

A.2(n+1)2

B.2n(n+1)

C.22n-1

D.22n-1

[答案]　B

[解析]　因为Sn=n2an，a1=1，

所以S2=4a2=a1+a2⇒a2=13=23×2，

S3=9a3=a1+a2+a3⇒a3=a1+a28=16=24×3，

S4=16a4=a1+a2+a3+a4

⇒a4=a1+a2+a315=110=25×4.

所以猜想an=2n(n+1)，故应选B.

7.n个连续自然数按规律排列下表：

根据规律，从2010到2012箭头的方向依次为(　　)

A.↓→

B.→↑

C.↑→

D.→↓

[答案]　C

[解析]　观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2010到2012为↑→，故应选C.

8.(2010•山东文，10)观察(x2)′=2x，(x4)′=4x3，(cosx)′=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(-x)=(　　)

A.f(x)

B.-f(x)

C.g(x)

D.-g(x)

[答案]　D

[解析]　本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，

∴g(-x)=-g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查.

9.根据给出的数塔猜测123456×9+7等于(　　)

1×9+2=11

12×9+3=111

123×9+4=1111

1234×9+5=11111

12345×9+6=111111

…

A.1111110

B.1111111

C.1111112

D.1111113

[答案]　B

[解析]　根据规律应为7个1，故应选B.

10.把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，

试求第七个三角形数是(　　)

A.27

B.28

C.29

D.30

[答案]　B

[解析]　观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1+2+3+4+…+n=n(n+1)2个，∴第七个三角形数为7×(7+1)2=28.

二、填空题

11.观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根;第n个图形中，火柴杆有________根.

[答案]　13,3n+1

[解析]　第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n+1根.

12.从1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52中，可得一般规律是__________________.

[答案]　n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2

[解析]　第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n-1个数相加，且第n个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n-1个数相加，故第n个式子为：

n+(n+1)+(n+2)+…+{n+[(2n-1)-1]}

=(2n-1)2，

即n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.

13.观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________.

[答案]　S=4(n-1)(n≥2)

[解析]　每条边上有2个圆圈时共有S=4个;每条边上有3个圆圈时，共有S=8个;每条边上有4个圆圈时，共有S=12个.可见每条边上增加一个点，则S增加4，∴S与n的关系为S=4(n-1)(n≥2).

14.(2009•浙江理，15)观察下列等式：

C15+C55=23-2，

C19+C59+C99=27+23，

C113+C513+C913+C1313=211-25，

C117+C517+C917+C1317+C1717=215+27，

……

由以上等式推测到一个一般的结论：

对于n∈N*，C14n+1+C54n+1+C94n+1+…+C4n+14n+1=__________________.

[答案]　24n-1+(-1)n22n-1

[解析]　本小题主要考查归纳推理的能力

等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an=4n-1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn=2n-1，两项中间等号正、负相间出现，∴右端=24n-1+(-1)n22n-1.

三、解答题

15.在△ABC中，不等式1A+1B+1C≥9π成立，

在四边形ABCD中，不等式1A+1B+1C+1D≥162π成立，

在五边形ABCDE中，不等式1A+1B+1C+1D+1E≥253π成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立?

[解析]　根据已知特殊的数值：9π、162π、253π，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n-2)π(n≥3).

∴在n边形A1A2…An中：1A1+1A2+…+1An≥n2(n-2)π(n≥3).

16.下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图.数一数每个平面图各有多少个顶点?多少条边?它们围成了多少个区域?并将结果填入下表中.

平面区域 顶点数 边数 区域数

(1)

(2)

(3)

(4)

(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系?

(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边?

[解析]　各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：

平面区域 顶点数 边数 区域数 关系

(1) 3 3 2 3+2-3=2

(2) 8 12 6 8+6-12=2

(3) 6 9 5 6+5-9=2

(4) 10 15 7 10+7-15=2

结论 V E F V+F-E=2

推广 999 E 999 E=999+999-2

=1996

其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V+F-E=2.

故可猜想此平面图可能有1996条边.

17.在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式.

[解析]　b1=a•r100+a4•p100a+a4=110045r+15p，

b2=ab1+a4•p100a+a4=1100452r+15p+452p.

b3=a•b2+a4•p100a+a4

=1100453r+15p+452p+4253P，

∴归纳得bn=110045nr+15p+452p+…+4n-15nP.

18.设f(n)=n2+n+41，n∈N+，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想是否正确.

[解析]　f(1)=12+1+41=43，f(2)=22+2+41=47，

f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=61，

f(5)=52+5+41=71，f(6)=62+6+41=83，

f(7)=72+7+41=97，f(8)=82+8+41=113，

f(9)=92+9+41=131，f(10)=102+10+41=151.

由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数.

即：当n取任何非负整数时f(n)=n2+n+41的值为质数.

但是当n=40时，f(40)=402+40+41=1681为合数.

所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确.

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