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本文题目：高二数学下册4月阶段测试题

考试时间： 120分钟 总分： 150

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.

1. 复数 的值是( )

A.2i B. -2i C. 2 D. -2

2. 若 是纯虚数，则实数m为( )

A. 1 B. 1或2 C. 0 D. -1或1或2

3.设函数 可导，则 ( )

A. B. C. D.

4.反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( ).

A.假设三内角都不大于60度 B.假设三内角都大于60度

C.假设三内角至多有一个大于60度 D.假设三内角至多有两个大于60度

5. ( )

A. 0 B. 1 C. 2 D.

6.下列求导式子，正确的个数是( )

, , , , , A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

7.函数 在点(-1，-3)处的切线方程是( )

A. B. C. D.

8.平行六面体 的棱长均为2，∠ABB’=120°

∠B’BC=60°∠ABC=90°, =( )

A. B. C. D.

9.复数z的虚部为 ，模为2，则该复数z =( )

A. B. C. D.

10. 已知 ，奇函数 在 上单调，则字母 应满足的条件是 ( ). A. ; B.

C. D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.

11.一物体在力 (单位:N)的作用下，沿与力F相同的方向，从 处运动到 处.(单位：m).力 所作的功为

12.将“函数y=2x+5的图像是一条直线”用三段论表示为：

大前提：

小前提：

结论：

13. 数列2，5，11，20，X，47，。。。。; 根据规律X= 归纳猜想通项 =

14.在等差数列 中，若 .则有 成立，类比上述性质，在等比数列 中， ，则存在怎样的等式：

15.曲线 所围成的图形的面积

16.由图(1)有面积关系： ，则由图(2)有体积关系： = .

五、解答题：本大题共6小题，共76分.在答题卷上的相应题目的答题区域内写出文字说明，证明过程或演算步骤作答.

17. (本题满分12分)长方体 点E在棱AB上移动。

(1)证明： (2)当点E为AB中点时，求点E到平面 的距离。

(3)AE等于何值时，二面角 的大小为 。

18.(本题满分12分)四面体ABCD中，O是BD的中点，

(I)求证： 平面BCD;

(II)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(建系向量法)

19. (本题满分12分)已知数列 计算 .由此猜想 的表达式，并用数学归纳法证明。

20、(本题满分12分)用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.

21.(本题满分14分)类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明。

22. (本题满分14分)已知函数 (1)求 的单调区间和极值;

(2)讨论方程 的实数根的个数

2010-2011学年2 学期4月数学(理科)学科高二年段阶段测试答题卷

一.选择题:(共10小题,每小题5分,满分50分)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B C C B A B C B C A

11.__ 40 __ 13。X= 32 = __

12.大前提： 一次函数的图像是直线14

小前提：函数y=2x+5是一次函数 15。__ __

结论：函数y=2x+5的图像是一条直线 16。__ __

本题满分12分)解:以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则

(1)

(2)因为 为 的中点，则 ，从而 ，

，设平面 的法向量为 ，则

即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为 (3)设平面 的法向量 ，

∴ 由

令 ，∴

∴ (舍去)， .∴ 时，二面角 的大小为

(I)证明：连结OC

在 中，由已知可得 而

即 平面

(II)解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

异面直线AB与CD所成角的余弦值为

分)解:

猜想 。数学归纳法证明

(1) 时，左边= 右边= ，等式成立

(2)假设当 猜想成立即

= + =

时猜想成立。根据(1)(2)可知猜想对任何 都成立

设容器底面短边为x m，则另一边长为 ( x + 0.5 ) m，高为

.由3.2-2 x > 0且x > 0，得0 < x <1.6，

容器的容积为y m3，则y = x ( x + 0.5 ) ( 3.2-2 x ) =-2 x 3 + 2.2 x 2 + 1.6 x , ( 0 < x <1.6 )

∴ y ' =-6 x 2 + 4.4 x + 1.6 = 0, 即15 x 2-11 x-4 = 0， ， (舍去)

当x∈( 0, 1 ) 时，y ' > 0;当x∈( 1 , 1.6 ) 时，y ' < 0.

∴ 函数y =-2 x 3 + 2.2 x 2 +1.6 x在 ( 0, 1 ) 上单调递增，在(1，1.6)上单调递减.

因此，当x = 1时，y m a x =-2 + 2.2 +1.6 = 1.8，这时，高为3.2-2 × 1 = 1.2，

故容器的高为1.2 m时容器最大，最大容积为1.8 m 3.

在四面体 中，棱PD，DE，DF两两垂直，三角形DEF，PDE，PDF，PEF的面积分别记 。猜想

证明：过P做 于G，连接DG， PD，DE，DF两两垂直，

， ， 。

=

= =

猜想 成立

本题满分14分)解:

(1) ，

， 列表

极大

极小

的单调增区间是 和 ，减区间是 ，极大值 ，极大值

(2)当 或 时，原方程都有两个实数根

当 或 时，原方程都有一个实数根

当 时，原方程都有三个实数根

附加题1.(本题满分10分)已知函数 .

(Ⅰ)设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N*)在函数

y=f′(x)的图象上，求证：点(n,Sn)也在y=f′(x)的图象上;

(Ⅱ)求函数f(x)在区间(a-1,a)内的极值.

(Ⅰ)证明：因为 所以 ′(x)=x2+2x,

由点 在函数y=f′(x)的图象上,

又 所以

所以 ,又因为 ′(n)=n2+2n,所以 ,

故点 也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)解: ,

由 得 .

当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表:

x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞)

f′(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

注意到 ,从而

①当 ,此时 无极小值;

②当 的极小值为 ,此时 无极大值;

③当 既无极大值又无极小值.

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