2012届福建省福州八县(市)一中高二上学期期末联考(数学)

　　1.命题“ ”的否定是 ( )

　　A.

　　B.

　　C.

　　D.

　　2.设椭圆 的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为( )

　　A. ; B. ;C. ;D. .

　　3.“ab<0”是方程“ax2+by2=c”表示双曲线的( )

　　A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　4.焦点为(0, 6)，且与双曲线 有相同的渐近线的双曲线方程是( )

　　A. B. C. D.

　　6.已知条件 ：x2+x-2>0，条件 ： ，若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围可以是( )

　　A. B. C. D.

　　7.抛物线型拱桥，当水面距拱顶8 m时，水面宽24 m，若雨后水面上涨2 m，则此时的水面宽约为(以下数据供参考： ≈1.7, ≈1.4)( )

　　A.20.4 m B.10.2 m

　　C.12.8 m D.6.4 m

　　8.设F1和F2是双曲线 的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是(　　)

　　A.1? B. ? C.2? D.

　　9.已知 的值为( )

　　A. B. C. D.

　　10.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则 等于(　　)

　　A.2a? B. ? C.4a? D.

　　11已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点(-c，0)和(c，0)，若c是a、m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率是( )

　　12.已知点 是抛物线 上的一点，设点 到此抛物线的准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最小值为( )

　　A. B. C. D.

　　13. 椭圆 与直线 交于 ， 两点，过原点与线段 中点的直线的斜率为 ，则 ( )

　　A. B. C. D.

　　14我们把由半椭圆

　　合成的曲线称作“果圆”(其中 )。

　　如图，设点 是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2

　　是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的

　　等边三角，则a，b的值分别为 ( )

　　A. B. C.5，3 D.5，4

　　15设e1、e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率,P为两曲线的一个公共点,且满足 =0,则 的值为( )

　　A.1 B. C.2 D.不确定

　　A.e< B.1

　　二填空题

　　13若椭圆 =1的离心率为 ，则实数m等于________

　　14①“若xy=1,则x, y互为倒数”的逆命题;②“相似三角形的周长相等”的否命题;③“若a≤-1,则方程x2-2ax+a2+a=0有实根”的逆否命题;④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题。其中正确的命题是__________.(填上你认为正确的命题序号)

　　15若命题“ x∈R, 使x2+ax+1<0”是真命题，则实数a的取值范围为________

　　16过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 两点，若

　　则 的值为

　　17过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线，且与双曲线的两支相交，求该双曲线离心率的范围。

　　解析：设双曲线的方程为 ， ，渐近线 ，则过 的直线方程为 ，则 ，

　　代入得 ，

　　∴ 即得 ，

　　∴ ，即得到 。

　　三.解答题

　　1. 已知：命题p：方程 有两个不等负实根; 命题q：不等式 的解集是R. 若p或 为真，p且 为假，求实数 的取值范围.

　　已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1),B(x2，y2)两点，则 的最小值是 32 .

　　解：显然 0，又 =4( )8 ，当且仅当 时取等号，所以所求的值为32。(注意联系均值不等式!)

　　已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率为 .

　　(1)求椭圆C 的标准方程;

　　(2)过椭圆C 的右焦点作直线 交椭圆C于 、 两点，交 轴于 点， 若 ， ，求证： .

　　19.(1)解：设椭圆C的方程为 ( > > )，……1分

　　抛物线方程化为 ，其焦点为 ， ………………2分

　　则椭圆C的一个顶点为 ，即 ………………3分

　　由 ，∴ ，

　　所以椭圆C的标准方程为 ………………6分

　　(2)证明：易求出椭圆C的右焦点 ， ………………7分

　　设 ，显然直线 的斜率存在，

　　设直线 的方程为 ，代入方程 并整理，

　　得 ………………9分

　　∴ ， ………………10分

　　又， ， ， ， ，

　　而 ， ，

　　即 ，

　　∴ ， ， ……………………12分

　　所以

　　16.已知双曲线 的右焦点为 ，左顶点为 ，

　　虚轴的两个端点分别为 ，若 在同一个圆上，

　　则双曲线的离心率等于　 　　.

　　17.(本小题满分12分)已知p：方程 有两个不等的负实根;q：方程

　　无实根.若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围.

　　16.(本小题满分8分)设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得弦长|AB|=3 .

　　(1)求k的值;

　　(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标.

　　解:(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2),由 得4x2+4(k-1)x+k2=0,Δ=16(k-1)2-16k2>0.

　　∴k< .

　　又由韦达定理有x1+x2=1-k,x1x2= ,

　　∴|AB|=

　　= • ,

　　即 .∴k=-4.

　　(2)设x轴上点P(x,0),P到AB的距离为d,则

　　d= ,

　　S△PBC= •3 • =39，

　　∴|2x-4|=26.

　　∴x=15或x=-11.

　　∴P点为(15，0)或(-11，0).

　　17.已知命题 若非 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。

　　17、解：

　　而 ，即

　　已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 与 轴相交于点 ，过 且倾斜角为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则四边形 的面积等于

　　22.(本小题满分14分)

　　如图，设P为抛物线 上异于原点O的任意一点，F为抛物线的焦点，直线l：x=—1交x轴于点A，过点P作直线l的垂线PM，垂足为M，作射线PO交直线l于点N。

　　(I)当p=1，|MF|=|MP|时，求点P的横坐标的值;

　　(II)是否存在p的值使得以MN为直径的圆恒过焦点F，若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由;

　　(III)证明：不论 取何值，当∠MFN最小时，点P的横坐标总是定值。

　　22.解：注意到图形的对称性不妨设

　　(I)(解法1)当P=1时，F(1，0)，

　　………………4分

　　(解法2)

　　(II)(解法1) ………………6分

　　因此存在p=1使得以MN为直径的圆恒过抛物线的焦点F。 …………9分

　　(解法2)当以MN为直径的圆过F点时，

　　………………9分

　　(解法3)当以MN为直径的圆过F点时，MF⊥NF，

　　(III)证明：设 ， ………………10分

　　………………13分

　　当且仅当 取得最小值。

　　所以不论 为何值，当∠MFN最小时，P点的横坐标总是定值。 ………14分

　　平面直角坐标系中， 为坐标原点，给定两点A(1，0)、B(0，-2)，点C满足

　　、 .

　　(Ⅰ)求点C的轨迹方程;

　　(Ⅱ)设点C的轨迹与双曲线 交于M、N两点，且以MN为直径的圆过原点，求证 ;

　　(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，若双曲线的离心率不大于 ，求双曲线实轴长的取值范围.

　　解：(Ⅰ)设 ,则

　　,

　　即点C的轨迹方程为 . ………………………………………………4分

　　(Ⅱ) 由题意 .

　　. …………6分

　　.

　　,

　　. …………………………………9分

　　(Ⅲ) . .

　　.

　　∴双曲线实轴长的取值范围是 .

　　5、(2009咸宁市期末)已知A(-2，0)、B(2，0)，点C、点D满足

　　(1)求点D的轨迹方程;

　　(2)过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆与M、N两点，线段MN的中点到y轴的

　　距离为 ，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程。

　　解：

　　(1)设C、D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则 =(x0+2，y0)， =(4，0)

　　则 (x0+6，y0)，故 •••2分

　　又 •••4分

　　代入 得x2+y2=1，即为所求点D的轨迹方程 •••6分

　　(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2) ①

　　又设椭圆方程为 ②

　　因为直线l与圆x +y =1相切，故 ，解得k =

　　将①代入②整理得，

　　而k = 即

　　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=

　　由题意有 求的a =8，经检验，此时△>0.

　　故所求的椭圆方程为 •••13

　　22.(2005中科大附中模拟，22)已知双曲线C的中心在原点，抛物线y2=2 x的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1， ),

　　(1)求双曲线的方程;

　　(2)设直线l:y=kx+1与双曲线C交于A、B两点，试问：

　　①k为何值时 ⊥ ;

　　②是否存在实数k，使A、B两点关于直线y=mx对称(m为常数)，若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

　　解析：(1)由题意设双曲线方程为 =1，

　　把(1， )代入得 =1. (*)

　　又y2=2 x的焦点是( ，0)，故双曲线的c2=a2+b2= 与(*)联立，消去b2可得4a2-21a2+5=0,(4a2-1)(a2-5)=0.

　　∴a2= ,a2=5(不合题意舍去)

　　于是b2=1，∴双曲线方程为4x2-y2=1;

　　(2)由 消去y得

　　(4-k2)x2-2kx-2=0. (*)

　　当Δ>0 即-2

　　l与C有两个交点A、B,

　　①设A(x1，y1),B(x2，y2)，

　　因 ⊥ ，故 • =0即x1x2+y1y2=0，

　　由(*)知x1+x2= ,x1x2= ，

　　代入可得 +k2• +k• +1=0,

　　化简得k2=2,∴k=± ，检验符合条件，故当k=± 时， ⊥ .

　　②若存在实数k满足条件，则必须

　　由(ⅱ)(ⅲ)得m(x1+x2)=k(x1+x2)+2,

　　把x1+x2= 代入(ⅰ)得mk=4这与(ⅰ)的km=-1矛盾，故不存在实数k满足条件.

　　已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点，离心率等于

　　(I)求椭圆C的标准方程;

　　(II)过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若

　　为定值

　　22.解：(I)设椭圆C的方程为 ，则由题意知b = 1.

　　∴椭圆C的方程为

　　(II)方法一：设A、B、M点的坐标分别为

　　易知F点的坐标为(2，0).

　　将A点坐标代入到椭圆方程中，得 去分母整理得

　　方法二：设A、B、M点的坐标分别为 又易知F点的坐标为(2，0). 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得

　　又

　　9.P是双曲线 - =1(a>0,b>0)右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标为( )

　　A.a B.b C.c D.a+b-c

　　解析：利用平面几何的知识及双曲线的定义易知：△PF1F2的内切圆与x轴的切点为双曲线的右顶点.

　　答案：A

　　已知椭圆 的左、右两个焦点为F1、F2,离心率为 ,又抛物线C2:y2=4mx(m>0)与椭圆C1有公共焦点F2(1,0).

　　(1)求椭圆和抛物线的方程;

　　(2)设直线l经过椭圆的左焦点F1且与抛物线交于不同两点P、Q,且满足 ,求实数λ的取值范围.

　　解:(1)在椭圆中,c=1, ,

　　所以 ,

　　故椭圆方程为 .

　　抛物线中, ,所以p=2,

　　故抛物线方程为y2=4x.

　　(2)设直线l的方程为y=k(x+1)和抛物线方程联立,得

　　消去y,整理,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

　　因为直线和抛物线有两个交点,

　　所以k≠0,(2k2-4)2-4k4>0.

　　解得-1

　　设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

　　x1x2=1.

　　又 ,

　　所以

　　又y2=4x,

　　由此得4x1=λ24x2,即x1=λ2x2.

　　由x1x2=1,

　　解得x1=λ,x2= .

　　又 ,

　　所以 .

　　又因为0

　　所以 ,

　　解得λ>0且λ≠1.

　　22.(本小题满分14分)

　　如图，已知 为椭圆 的左右两个顶点， 为椭圆的右焦点， 为椭圆上异于 点的任意一点，直线 分别交直线 于 点， 交 轴于C点.

　　(1) 当 时，求直线 的方程;

　　(2) 求证：当 时以 为直径的圆过F点;

　　(3) 对任意给定的 值，求 面积的最小值。