双曲线的几何性质

1.范围

双曲线在不等式x≤-a与x≥a所表示的区域内.

2.对称性

双曲线关于每个坐标轴和原点都是对称的.

这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线的对称中心.

双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

3.顶点

双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点.

一般的，双曲线(希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”)是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。

它还可以定义为与两个固定的点(叫做焦点)的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

在数学中，双曲线(多重双曲线或双曲线)是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。 (其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况)如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。

双曲线出现在许多方面：

作为在笛卡尔平面中表示函数{\ displaystyle f(x)= 1 / x} f(x)= 1 / x的曲线，

作为日后的阴影的路径，

作为开放轨道(与闭合的椭圆轨道不同)的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过最近行星的逃逸速度的任何航天器，

作为一个单一的彗星(一个旅行太快无法回到太阳系)的路径，

作为亚原子粒子的散射轨迹(以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的)，

在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时，

等等。

双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直(较低曲率)的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线{\ displaystyle f(x)= 1 / x} f(x)= 1 / x的情况下，渐近线是两个坐标轴。

双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面(鞍形表面)，双曲面(“垃圾桶”)，双曲线几何(Lobachevsky的着名的非欧几里德几何)，双曲线函数(sinh，cosh，tanh等)和陀螺仪矢量空间(提出用于相对论和量子力学的几何，不是欧几里得)。