2014年云南高考数学解题思想方法技巧：导数开门 腾龙起凤

●计名释义?

导数蕴涵着丰富的数学思想和数学文化，它不仅是数学解题的工具，又是一种先进的思维取向.?

近年高考对导数加大了力度，不仅体现在解题工具上，更着力于思维取向的考查.导数，她像是一条腾跃的龙和开屏的凤，潜移默化地改变着我们思考问题的习惯.数学思想的引领，辨证思想的渗透，帮助着我们确立科学的思维取向.??

●典例示范?

【例1】 (2005年北京卷)过原点作曲线y=ex的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .?

【分析】 本题中没有给出切线方程，而要我们求切点坐标和切线斜率，似乎太难为我们考生了.?但如果想到导数的几何意义，我们不妨一试.?

【解答】 对于未给定切点的要先求导数，即y′=(ex)′.?

设切点为(x0，e ?)，y′=ex，yx= x =e .? 则切线方程为y-e =e (x-x0),?

∵切线过(0，0)点，0-e =e (0-x0)，∴x0=1，∴e =e,∴切点坐标为(1，e),切线斜率为e.?

【点评】 求导既是一种解题方法，又是一种思维取向，故要求我们将方法与思维并存，表里合一，协调匹配.??

【例2】 若函数f (x)=loga(x3-ax) (a>0,a≠1)在区间( ，0)内单调递增，则a的取值范围是 ( )?

?A. B. C. D. ?

【解答】 ?B? 设u=x3-ax，则u′=3x2-a.?

当a>1时，f (x)在 上单调递增，必须u′=3x2-a>0，即a<3x2在 上恒成立.又0<3x2< ，∴a≤0，这与a>1矛盾.?

当03x2在 上恒成立，?

∴a≥ 且(- )3 -a (- )>0，即a> ,故有 ≤a<1,故正确答案为?B?.?

【点评】 此题是对数型复合函数，因真数含立方，故宜用导数解决.??

【例3】 已知a∈R，讨论函数f (x)=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数.?

【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)].?

令f′(x)=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.?

(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.?

即a<0或a>4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有两个不同实根x1，x2，不妨设x1

f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).?

从而有下表：

x (-∞，x1) x1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)

fˊ(x) + 0 - 0 +

f (x) ↗ f (x1)为极大值 ↘ f (x2)为极小值 ↗

即此时f (x)有两个极值点.?

(2)当在Δ=0，即a=0或a= 4时，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2.于是

f′(x)=ex(x-x1)2.?

故当x0;当x>x2时，f′(x)>0.因此f (x)无极值.?

(3)当Δ<0，即00，f′(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0，故f (x)为增函数，此时f (x)无极值.因此 当a>4或a<0时，f (x)有2个极值点，当0≤a≤4时，f (x)无极值点.?

【点评】 此题虽不是求极值，但确定极值点个数实际上还是考查极值，解答时最好列表分析，便于确定极值点的个数.??

●对应训练?

1.已知函数f (x)= 的图象在点M(-1，f (-1))处的切线方程为x+2y+5=0.?

(1)求函数y=f (x)的解析式;? (2)求函数y=f (x)的单调区间.?

2.已知函数f (x)= ，x∈[0，1].?

(Ⅰ)求f (x)的单调区间和值域;?

(Ⅱ)设a≥1，函数g (x)=x3-3a2x-2a，x∈[0，1].若对于任意x1∈[0,1]，总存在x0∈[0,1],使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范围.?

3.已知a≥0，函数f (x)=(x2-2ax)ex.?

(Ⅰ)当x为何值时，f x)取得最小值?证明你的结论;?

(Ⅱ)设f (x)在[-1，1]上是单调函数，求a的取值范围